Cho dãy số $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$ , biết $u_1=3;u_{n+1}=\sqrt{1+u_n^2} \mathrm{với} \mathrm{n}\ge 1$.Dự  đoán công thức số hạng tổng quát  và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Cho dãy số $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$ , biết  $u_1=3;u_{n+1}=\sqrt{1+u_n^2} \mathrm{với} \mathrm{n}\ge 1$.Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số.

Dãy số $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$  được xác định bằng công thức $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_{n+1}=u_n+n^{3\text{'}}\end{array}\right.n\ge 1$. Tính số hạng thứ 30 của dãy số.

Dãy số $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$  được xác định bằng công thức $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_{n+1}=u_n+n^{3\text{'}}\end{array}\right.n\ge 1$. Tìm công thức của số hạng tổng quát.

Cho dãy số $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$ với $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=-1\\ u_{n+1}=\frac{u_n}{2}\end{array}\right.$. Tính số hạng thứ 10 của dãy số.

Cho dãy số $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$  với $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=-1\\ u_{n+1}=\frac{u_n}{2}\end{array}\right.$.Tìm công thức của số hạng tổng quát.

Xác định công thức $u_n=\frac{n}{n+1};n\ge 1$ số hạng tổng quát u_n của dãy số $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=3\\ u_{n+1}=u_n+2\end{array}\right.$

Cho dãy số $\left(a_n\right)$. Đặt $u_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$với $a_k=\frac{1}{k\left(k+1\right)}. \mathrm{Tính} {\mathrm{u}}_{2020}$

Cho hai dãy số $\left(u_n\right), \left(v_n\right)$ được xác định như sau $u_1=\mathrm{3,}{v}_1=2 \mathrm{và} \left\{\begin{array}{l}{u}_{n+1}=u_n^2+2v_n^2\\ v_{n=1}=2u_n.v_n\end{array}\right.$ với $\mathrm{n}\ge 2.$Công thức tổng quát của hai dãy $\left(u_n\right) và \left(v_n\right)$ là

Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi giá trị nguyên $\mathrm{n}\ge \mathrm{p}$ với p là số nguyên dương ta sẽ tiến hành 2 bước

Bước 1 (bước cơ sở). Chứng minh rằng A(n) đúng khi n=1

Bước 2 (bước quy nạp). Với số nguyên dương tùy ý k, ta giả sử A(n) đúng khi n=k (theo giả thiết quy nạp). Ta sẽ chứng minh rằng A(n) đúng khi n=k+1

Hãy chọn câu trả lời đúng tương ứng với lí luận trên.

Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu $u_n={5.2}^{3n-2}+3^{3n-1}$

Một học sinh chứng minh u_n luôn chia hết cho 19 như sau:

Bước 1: Khi n=1 ta có $u_1={5.2}^1+3^2=19\Rightarrow u_1⋮19$

Bước 2: Giả sử $u_k={5.2}^{3k-2}+3^{3k+1}$  chia hết cho 19 với $\mathrm{k}\ge 1$

Khi đó ta có $u_{k+1}={5.2}^{3k+1}+3^{3k+2}=8\left({5.2}^{3k-2}+3^{3k-1}\right)+{19.3}^{3k-1}$

Bước 3: Vì ${5.2}^{3k-2}+3^{3k-1} \mathrm{và} {19.3}^{3k-1}$ chia hết cho 19 nên ${\mathrm{u}}_{\mathrm{k}+1}$  chia hết cho 19,

Vậy u_n chia hết cho 19, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?

Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu $u_n={5.2}^{3n-2}+3^{3n-1}$

Một học sinh chứng minh u_n luôn chia hết cho 19 như sau:

Bước 1: Khi n=1 ta có $u_1={5.2}^1+3^2=19\Rightarrow u_1⋮19$

Bước 2: Giả sử $u_k={5.2}^{3k-2}+3^{3k+1}$  chia hết cho 19 với $\mathrm{k}\ge 1$

Khi đó ta có $u_{k+1}={5.2}^{3k+1}+3^{3k+2}=8\left({5.2}^{3k-2}+3^{3k-1}\right)+{19.3}^{3k-1}$

Bước 3: Vì ${5.2}^{3k-2}+3^{3k-1} \mathrm{và} {19.3}^{3k-1}$ chia hết cho 19 nên ${\mathrm{u}}_{\mathrm{k}+1}$  chia hết cho 19,

Vậy u_n chia hết cho 19, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?

Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu $u_n={5.2}^{3n-2}+3^{3n-1}$

Một học sinh chứng minh u_n luôn chia hết cho 19 như sau:

Bước 1: Khi n=1 ta có $u_1={5.2}^1+3^2=19\Rightarrow u_1⋮19$

Bước 2: Giả sử $u_k={5.2}^{3k-2}+3^{3k+1}$  chia hết cho 19 với $\mathrm{k}\ge 1$

Khi đó ta có $u_{k+1}={5.2}^{3k+1}+3^{3k+2}=8\left({5.2}^{3k-2}+3^{3k-1}\right)+{19.3}^{3k-1}$

Bước 3: Vì ${5.2}^{3k-2}+3^{3k-1} \mathrm{và} {19.3}^{3k-1}$ chia hết cho 19 nên ${\mathrm{u}}_{\mathrm{k}+1}$  chia hết cho 19,

Vậy u_n chia hết cho 19, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $\mathrm{n}\ge 2$  ta có $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\mathrm{...}+\frac{1}{n+n}>\frac{13}{24}\left(1\right)$

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có $\frac{1}{\mathrm{1.2.3}}+\frac{1}{\mathrm{2.3.4}}+\mathrm{...}+\frac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{n\left(n+3\right)}{4\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\left(1\right)$

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $\mathrm{n}\ge 2$ , ta có ${1.2}^2+{2.3}^3+{3.4}^4+\mathrm{...}+\left(n-1\right)n^2=\frac{n\left(n^2-1\right)\left(3n+2\right)}{12}\left(1\right)$

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có $1.4+2.7+\mathrm{...}+n(3n+1)=n{\left(n+1\right)}^2\left(1\right)$

Cho phương trình $\cot \left(x+\frac{3\pi }{4}\right)=m^2-4$ , m là tham số. Với giá trị nào của  m thì phương trình trên vô nghiệm?

Phương trình $3\cot x-\sqrt{3}=0$  có nghiệm là

Giải phương trình $\cot \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Phương trình lượng giác $\sqrt{2}\tan \left(\frac{\pi }{4}-2x\right)-\sqrt{2}=0$  có nghiệm là

Phương trình $\tan \left(\frac{\pi }{4}\sin 4x\right)=\frac{3}{2}$  có bao nhiêu họ nghiệm?

Nghiệm của phương trình $\tan x=-\tan \frac{\pi }{5}$  trong khoảng $\left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$  là

Phương trình ${\tan }^{2}x=3$   có nghiệm là

Nghiệm của phương trình $\tan \left(x+15°\right)=1$  với $90°<x<270°$  là

Phương trình $\sin \left(\frac{5\pi }{3}\cos \pi x\right)=\frac{1}{2}$  có bao nhiêu họ nghiệm?

Số nghiệm của phương trình $\sqrt{2}\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=1$  với $0\le x\le 2\pi$  là