Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường $y = \frac{1}{x}$; $x = \frac{1}{2}$; $x=2$ và trục hoành. Đường thẳng $x=k \left(\frac{1}{2}<k<2\right)$ chia (H) thành hai phần có diện tích là S₁ và S₂ như hình vẽ bên. Tìm tất cả giá trị thực của k để $S_1 = 3S_2$

Gọi (H) là hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = 2x; $y = \frac{1-x}{x}$; y = 0 (phần tô đậm màu đen ở hình vẽ bên). Thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành bằng

Cho $I\left(m\right) = {\int }_0^m\frac{1}{x^2+3x+2}dx$ Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương m để $e^{I\left(m\right)}< \frac{99}{50}$

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên đoạn [0;1] thoả mãn ${\int }_0^1{e}^{x}f\left(x\right)dx = {\int }_0^1{e}^{x}f\text{'}\left(x\right)dx ={\int }_0^1{e}^{x}f\text{'}\text{'}\left(x\right)dx \ne 0$. Giá trị của biểu thức $\frac{ef\text{'}\left(1\right) - f\text{'}\left(0\right)}{ef\left(1\right) - f\left(0\right)}$ bằng

Viết công thức tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = ln4 bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ x  có thiết diện là một hình vuông có độ dài cạnh là $\sqrt{x.e^x}$

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y^2 = 2x$, cung tròn có phương trình $y= \sqrt{8-x^2}$ $( 0<x<2\sqrt{2 } )$ và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng

Cho ${\int }_1^{\sqrt{3}}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}dx = a-\sqrt{b}+ \ln \frac{c+\sqrt{d}}{\sqrt{e}}$ với c nguyên dương và a,b,d,e là các số nguyên tố. Giá trị của biểu thức a+b+c+d+e bằng

Cho ${\int }_1^2\sqrt{\frac{1}{x^8}+\frac{1}{x^6}}dx = a\sqrt{2}- b\sqrt{5}$ với a,b là các số hữu tỉ. Giá trị của biểu thức a+b bằng

Cho hàm số f(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;2] thoả mãn f(0) = 3; f(2) = 12 và ${\int }_0^2\frac{(f\text{'}{\left(x\right))}^2}{f\left(x\right)}dx = 6$ Tính  f(1)

Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y =f(x) trục hoành và hai đường thẳng x = a và x =b (a<b) được tính theo công thức nào dưới đây ?

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [0;1] thoả mãn ${\int }_0^1{x}^{2}f\left(x\right)dx = 0$ và $\underset{[0;1]}{max}\left|f\left(x\right)\right| = 6$ Giá trị lớn nhất của tích phân ${\int }_0^1{x}^{3}f\left(x\right)dx$ bằng

Cho số phức $z = m+3+(m^2-1)i$ với m là tham số thực thay đổi. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thuộc đường cong (C). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi   (C) và trục hoành.

Cho hàm số f(x) có đạo hàm cấp hai f''(x) liên tục trên đoạn [0;1] thoả mãn f(1) = f(0) = 1; f'(0) = 2018 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho ${\int }_1^e\frac{\ln x -1}{{\ln }^{2}x - x^2}dx = \frac{1}{c}\ln \left(\frac{e+a}{e-b}\right)$ với a,b,c là các số nguyên dương. Giá trị biểu thức a+b+c bằng

Cho hàm số f(x) xác định trên $(-\infty ; -1)\cup (0;+\infty )$ và $f\text{'}\left(x\right) = \frac{1}{x^2+x}$; $f\left(1\right) = \ln \frac{1}{2}$ Biết ${\int }_1^2\left(x^2+1\right)f\left(x\right)dx = a\ln 3 + b\ln 2 +c$ với a,b,c là các số hữu tỉ. Giá trị biểu thức a+b+c bằng

Họ các nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = x^2 +\cos x$ là