20 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 200 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao (P1)

Câu 1:

Tìm tất các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} + (m + 3) x^{2} + 4 (m + 3) x + m^{3} - m$ đạt cực trị tại $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn -2< $x_{1} < x_{2}$

A. m< -2.

B. m< 1.

C. m< -3

D. m>3

Xem đáp án

+ Ta có: y' = x² + 2(m+3)x + 4(m+3)

Yêu cầu của bài toán tường đương y’ =0 có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ thỏa mãn: -2 < x₁< x₂

Chọn C

Câu 2:

Tìm các giá trị của tham số m để hàm số: $y = \frac{1}{3} m x^{3} - (m - 1) x^{2} + 3 (m - 2) x + \frac{1}{6}$

đạt cực trị tại $x_{1} < x_{2} t h ỏ a m ã n 4 x_{1} + 3 x_{2} = 3$

A. $1 - \frac{\sqrt{6}}{2} < m < 1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$

B. 1<m<2

C. 2< m<3

D. Đáp án khác

Xem đáp án

Ta có: y' = $m x^{2} - 2 (m - 1) x + 3 (m - 2)$

Yêu cầu của bài toán tương đương y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt $x_{1}; x_{2} t h ỏ a m ã n 4 x_{1} + 3 x_{2} = 3$

Chọn D.

Câu 3:

Cho hàm số y= f(x) =ax³+ bx²+cx+d có đạo hàm là hàm số y= f’ (x) với đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng đồ thị hàm số y= f( x) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ dương . Khi đó đồ thị hàm số y= f( x) cắt trục tung tại điểm có tung độ là bao nhiêu?

A. 2/3

B. 1

C. 3/2

D. 4/3

Xem đáp án

+ Ta có đạo hàm f’(x) = 3ax²+ 2bx+c .

+ Dựa vào đồ thị hàm số y = f’(x) ta thấy đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 0); (1; -1); (2; 0) nên a = 1/3; b = -1; c = 0.

Do vậy hàm số cần tìm có dạng y = 1/3 x³-x²+ d .

Điểm tiếp xúc với trục hoành là cực trị của đồ thị hàm số và tại đó ta có x = 0 hoặc x = 2.

+ Vì đồ thị hàm số y = f(x) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ dương nên đồ thị hàm số tiếp xúc trục hoành tại điểm x = 2 nghĩa là:

f(2) = 0 hay 8/3 - 4 + d= 0 nên d = 4/3

Chọn D.

Câu 4:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sqrt{x + 4} + \sqrt{4 - x} - 4 \sqrt{(x + 4) (4 - x)} + 5$ bằng

A. $\underset{[- 4; 4]}{m a x} y = 10$

B. $\underset{[- 4; 4]}{m a x} y = 5 - 2 \sqrt{2}$

C. $\underset{[- 4; 4]}{m a x} y = - 7$

D. $\underset{[- 4; 4]}{m a x} y = 5 + 2 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Chọn D.

+) Điều kiện: -4 ≤ x ≤ 4.

Ta thấy hàm số f(x) liên tục trên đoạn [ -4; 4]

đặt t = $\sqrt{x + 4} + \sqrt{4 - x}$

$\Rightarrow t^{2} = x + 4 + 4 - x + 2 \sqrt{(x + 4) (4 - x)}$

$\Rightarrow \sqrt{(x + 4) (4 - x)} = \frac{t^{2} - 8}{2}$

Ta có:

Câu 5:

Cho hàm số y= 2x³-3x²+1 có đồ thị và đường thẳng d: y=x-1. Giao điểm của (C) và d lần lượt là A( 1; 0); B và C. Khi đó khoảng cách giữa B và C là

A. BC= $\frac{\sqrt{30}}{2}$

B. BC= $\frac{\sqrt{34}}{2}$

C. BC= $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

D. BC= $\frac{\sqrt{14}}{2}$

Xem đáp án

2x³-3x²+1 =x-1 hay 2x³-3x²-x+2=0

Khi đó ta có A(1 ; 0) ; B( x₁; x₁-1) và C( x₂; x₂-1) ( x₁; x₂ là nghiệm của (1))

Ta có , suy ra

Chọn B.

Câu 6:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 2sin⁴x+ cos²x+ 3 bằng

A. 5

B. 6

C. 4

D. tất cả sai

Xem đáp án

Ta có 2sin⁴x + cos²x + 3 = 2sin⁴x - sin²x + 4.

Đặt t = sin²x; 0 ≤ t = sin² x ≤1

Xét hàm số: f( t) = 2t⁴- t²+ 4 liên tục trên đoạn [0;1]

Có đạo hàm f’(t) = 8t³- 2t = 2t( 4t²- 1)

Trên khoảng (0;1) phương trình f’(t) =0 khi và chỉ khi t = 1/2

Ta có: f(0) = 4; f(1/ 2) = 31/ 8 và f(1) = 5.

Vậy

$\underset{t \in [0, 1]}{m i n} f (t) = \frac{31}{8} t ạ i t = 1 / 2 \Rightarrow \underset{R}{m i n} y = \frac{31}{8} k h i \sin^{2} x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos 2 x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}$

Chọn D.

Câu 7:

Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 2sin⁸x+ cos⁴2x. Khi đó M + m bằng

A. 28/27

B. 4.

C. 82/27

D. 2.

Xem đáp án

Chọn C.

Do $\sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2 x}{2}$ nên ta có

$s = y = 2 (\frac{1 - \cos 2 x}{2})^{4} + \cos^{4} 2 x = \frac{1}{8} . {(1 - \cos 2 x)}^{4} + \cos^{4} 2 x$

Đặt t = cos2x; $- 1 \leq t \leq 1$

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

G(t)=1/8. ${(1 - t)}^{4} + t^{4} v ớ i - 1 \leq t \leq 1$

ta có:

$g' (t) = - \frac{1}{2} {(1 - t)}^{3} + 4 t^{3}; g' (t) = 0 \Leftrightarrow {(1 - t)}^{3} = 8 t^{3} \Leftrightarrow 1 - t = 2 t \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}$

Lại có: g(1)=1; g(-1)=3; g(1/3)=1/27

Vậy m = 1/27; M=3

nên M+m=3+1/27= $\frac{82}{27}$

Câu 8:

Tìm m để đồ thị hàm số y = x³+mx+2 cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.

A.m > 1

B. m > 2

C. m > -3

D. m < -2

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là

$x^{3} + m x + 2 = 0$

Vì x=0 không là nghiệm của phương trình, nên phương trình tương đương với

$m = - x^{2} - \frac{2}{x}$ . Xét hàm số:

$f (x) = - x^{2} - \frac{2}{x} v ớ i x \neq 0, s u y r a f^{'} (x) = - 2 x + \frac{2}{x^{2}} = \frac{- 2 x^{3} + 2}{x^{2}} . v ậ y f^{'} (x) = 0 k h i x = 1 .$

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại một điểm duy nhất khi và chỉ khi m> -3.

Vậy m>-3 thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn C.

Câu 9:

Hàm số $y = \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 3} + \sqrt{1 - x} . \sqrt{x + 3}$ có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất lần lượt là:

A. $2 \sqrt{2} - 2; 2 .$

B. $2 \sqrt{2} + 2; 2 .$

C. $2 \sqrt{2}; 2 .$

D. 2; 0.

Xem đáp án

TXĐ: D= [ -3; 1].

Đặt:

Khi đó phương trình trở thành:

Do đó hàm số đồng biến trên D.

Chọn B.

Câu 10:

Cho f(x) = $(m^{4} + 1) x^{4} + (- 2^{m + 1} . m^{2} - 4) x^{2} + 4^{m} + 16$ . Số cực trị của hàm số y = |f(x)-1| là:

A. 2

B. 4

C. 3

D. 5

Xem đáp án

Ta có:

Do pt có 3 điểm cực trị ( vì ab< 0) nên phương trình f’ ( x) =0 có 3 nghiệm phân biệt.

Do đó (*) có 3 nghiệm phân biệt.

Chọn C.

Câu 11:

Cho hàm số y = ax³+ bx²+ cx+ d có đồ thị như hình vẽ bên. Đồ thị hàm số y = |ax³+ bx²+ cx+ d + 1| có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2

B. 3

C. 5

D. 4

Xem đáp án

Ta có thể vẽ đồ thị hàm số y = |ax³+ bx²+ cx+ d + 1| theo ba bước sau:

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số có 5 cực trị

Chọn C.

Câu 12:

Hàm số $y = \sqrt{x + 2} + \sqrt{2 - x} + 2 \sqrt{4 - x^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại điểm có hoành độ là:

A. $2 \sqrt{2} + 4; 2 .$

B. $2 \sqrt{2} - 2; 2 .$

C. $2 \sqrt{2}; 2 .$

D. 4; 2

Xem đáp án

TXD: D=[-2;2].

Đặt:

$t = \sqrt{x + 2} + \sqrt{2 - x} (2 \leq t \leq 2 \sqrt{2}) \Rightarrow 2 \sqrt{4 - x^{2}} = 2 \sqrt{2 - x} \sqrt{2 + x} = t^{2} - 4$

Khi đó hàm số trở thành:

$y = f (t) = t^{2} + t - 4$ và có đạo hàm $f^{'} (t) = 2 t + 1 > 0$ trên D

=> hàm số đồng biến với mọi $t \in [2; 2 \sqrt{2}]$

Do đó; min y = f(2)=2

$m a x y = 4 + 2 \sqrt{2}$

Chọn A

Câu 13:

Cho hàm số $y = \frac{m x - 1}{x + 2}$ có đồ thị là (C) . Tìm m để đường thẳng d: y=2x-1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A; B sao cho AB = $\sqrt{10}$

A. m= 2

B. m=3

C. m= 1

D. m= 4

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{m x - 1}{x + 2} = 2 x - 1 (1)$

Điều kiện: x $\neq - 2$ Khi đó

(1) Suy ra: mx-1=(2x-1) (x+2) hay 2x²-(m-3)x-1=0 (2)

Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A; B khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt suy ra (2) có hai nghiệm phân biệt khác -2

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} ∆ = [- (m - 3)]^{2} + 8 > 0 \\ 8 + 2 m - 6 - 1 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m \neq - \frac{1}{2} (*)$

Đặt A( x₁; 2x₁-1); B( x₂; 2x₂-1) với x₁; x₂ là hai nghiệm của phương trình (2).

Theo định lý Viet ta có

$\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = \frac{m - 3}{2} \\ x_{1} x_{2} = - \frac{1}{2} \end{cases}, k h i đ ó$

$A B = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + 4 {(x_{1} - x_{2})}^{2}} = \sqrt{10} \Leftrightarrow 5 [{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2}] = 10 \Leftrightarrow (\frac{m - 3}{2})^{2} + 2 = 2 \Leftrightarrow m = 3$

thỏa (*).

Vậy giá trị m cần tìm là m =3.

Câu 14:

Hàm số y = x⁸ + (x⁴ – 1)² + 5 đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;2] lần lượt tại hai điểm có hoành độ x₁; x₂. Khi đó tích x₁.x₂ có giá trị bằng:

A. 1.

B. 2.

C. 3/2.

D. 0.

Xem đáp án

Đặt t= x⁴- 1( -1≤ t≤ 15).

Khi đó hàm số trở thành: y= ( t+1) ²+ t²+ 5=2t²+ 2t+6

Đạo hàm y’ = 4t+ 2> 0 mọi x thòa mãn 0≤ x≤ 2

Hàm số đồng biến trên đoạn [0; 2].

Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x= 2 tức là t= 15, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x= 0 hay t=1

Chọn D.

Câu 15:

Cho phương trình $\sqrt{4 x - 1} + \sqrt{4 x^{2} - 1}$ =1 có nghiệm duy nhất có dạng b/a, trong đó a; b là số tự nhiên, b/a là phân số tối giản. Hãy tính giá trị của a+ 2b

A. 4

B. 5

C. 6

D.7

Xem đáp án

Điều kiện:

Đạo hàm

Suy ra hàm số đồng biến trên

Do đó : phương trình

Chọn B.

Câu 16:

Cho phương trình x³- 3x²+ 1 - m = 0 (1). Điều kiện của tham số m để (1) có ba nghiệm phân biệt thỏa x₁< 1 < x₂< x₃ khi

A. m = -1

B. -1 < m < 3

C. -3 < m < -1

D. Đáp án khác

Xem đáp án

Ta có x³- 3x²+ 1 - m = 0 (1) là phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đồ thị hàm số y = x³-3x²+1 và y = m (là đường thẳng song song hoặc trùng với Ox).

Xét y = x³-3x²+1 .

Tính y’ = 3x²- 6x

Ta có

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 6 x = 0 \Leftrightarrow$

Ta có x = 1 thì y = -1

Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị y = x³-3x²+1 và đường thẳng y = m .

Do đó, yêu cầu bài toán khi và chỉ khi -3 < m < -1

Chọn C.

Câu 17:

Cho phương trình: $2 x^{3} + x^{2} - 3 x + 1 = 2 (3 x - 1) \sqrt{3 x - 1}$

Tính tổng các nghiệm cùa phương trình là :

A.1

B.2

C.3

D.4

Xem đáp án

Điều kiện. x≥1/3

Ta có:

$2 x^{3} + x^{2} - 3 x + 1 = 2 (3 x - 1) \sqrt{3 x - 1} \Leftrightarrow 2 x^{3} + x^{2} + 1 = 2 {(\sqrt{3 x - 1})}^{3} + {(\sqrt{3 x - 1})}^{2} + 1 f (x) = f (\sqrt{3 x - 1})$

Xét hàm số f(t) = 2t³+ t²+ 1 liên tục trên R.

Ta có: đạo hàm f’(t) = 6t²+ 2t > 0 với t > 0 .

Do đó: hàm số f(t) đồng biến trên (0; +∞).

$f (x) = f (\sqrt{3 x - 1}) \Leftrightarrow x = \sqrt{3 x - 1} \Leftrightarrow x^{2} = 3 x - 1 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} > \frac{1}{3} \\ x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} > \frac{1}{3} \end{cases}$

Tổng các nghiệm là 3.

Chọn C.

Câu 18:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} m x^{2} + 2 m x - 3 m + 4$ nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3?

A. m= -1; m= 9.

B. m= -1

C. m= 3.

D. Đáp án khác

Xem đáp án

+ Đạo hàm y’ = x²- mx+ 2m

Hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3 khi và chi khi phương trình y’ =0 có 2 nghiệm x₁; x₂ ( chú ý hệ số a= 1> 0) thỏa mãn:

$|x_{1} - x_{2}| = 3 \Leftrightarrow \{\begin{cases} ∆ > 0 \Leftrightarrow m^{2} - 8 m > 0 \\ {(x_{1} - x_{2})}^{2} = 9 \Leftrightarrow S^{2} - 4 P = 9 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > 8 h a y m < 0 \\ m^{2} - 8 m = 9 \end{cases}$

Chọn A.

Câu 19:

Với giá trị nào của tham số m thì (C): y=x³-3(m+1) x²+2(m²+4m+1)x-4m(m+1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1?

A. $\frac{1}{2} < m \neq 1$

B. m> 1/ 2

C. m< 1/2

D. m

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và trục Ox:

x³-3(m+1) x²+2(m²+4m+1)x-4m(m+1)=0

hay (x-2) (x²-(3m+1) x+2m²+2m)=0

Chọn A.

Câu 20:

Cho hàm số y=x³-3x²+4 có đồ thị (C) . Gọi d là đường thẳng qua I(1; 2) với hệ số góc k . Có bao nhiêu giá trị nguyên của k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt I, A, B sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB là

A. 4

B. 1

C. 6

D. vô số

Xem đáp án

Phương trình đường thẳng d: y = k(x - 1) + 2.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d:

x³- 3x²+ 4 = k(x - 1) + 2.

Hay x³- 3x²- kx + k + 2 = 0 (1)

$\Leftrightarrow (x - 1) (x^{2} - 2 x - k - 2) = 0$

( C) cắt d tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ khác 1

$\Leftrightarrow \{\begin{array}{l} {∆^{'}}_{g} > 0 \\ g (1) \neq 0 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} k + 3 > 0 \\ - 3 - k \neq 0 \end{array} \Leftrightarrow k > - 3$

Hơn nữa theo Viet ta có

$\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 = 2 x_{I} \\ y_{1} + y_{2} = k (x_{1} + x_{2}) - 2 k + 4 = 4 = 2 y_{I} \end{cases}$

nên I là trung điểm AB.

Vậy chọn k > -3, hay k ∈ (-3; +∞). Do đó có vô số giá trị k nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao

200 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao (P1)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương