Sân trường có một bồn hoa hình tròn tâm O. Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bốn hoa, nhóm này định bồn hoa thành bốn phần bởi hai đường parabol có cùng đỉnh O và đối xứng nhau qua O (như hình vẽ). Hai đường parabol cắt đường tròn tại bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình vuông có cạnh bằng 4m. Phần diện tích $S_1, S_2$ dùng để trồng hoa, phần diện tích $S_3, S_4$ dùng để trồng cỏ.

Biết kinh phí trồng hoa là 150.000 đồng/ 1$m^2$, kinh phí để trồng cỏ là 100.000 đồng/$m^2$. Hỏi nhà trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng chục nghìn)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (3; 3; 1), B (0; 2; 1) và mặt phẳng (α): x + y + z – 7 = 0. Đường thẳng (d) nằm trên (α) sao cho mọi điểm của (d) cách đều hai điểm A, B có phương trình là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + y² + z² – 4x + 10y – 2z – 6 = 0. Cho m là số thực thỏa mãn giao tuyến của hai mặt phẳng lần lượt có phương trình y = m và x + z – 3 = 0 tiếp xúc với mặt cầu (S). Tích tất cả các giá trị mà m có thể nhận được bằng:

Xét hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn điều kiện 2f (x) – 3f (1 –x) = x$\sqrt{1-x}$ . Tính tích phân I = $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx$ .

Xét các số phức  z = a + bi, (a, b ∈ ℝ) thỏa mãn 4(z – $\overline{z}$ ) – 15i = i(z + $\overline{z}$  – 1)². Tính F = a   + 4b khi $\left|z-\frac{1}{2}+3i\right|$  đạt giá trị nhỏ nhất.

Cho đồ thị (C): y = f(x)=$\sqrt{x}$ . Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), đường thẳng x = 9 và trục Ox. Cho điểm M thuộc đồ thị (C) và điểm A(9; 0). Gọi V₁ là thể tích khối tròn xoay khi cho (H) quay quanh trục Ox, V₂ là thể tích khối tròn xoay khi cho tam giác AOM quay quanh trục Ox. Biết rằng V₁ = 2 V₂. Tính diện tích S phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và đường thẳng OM .

Trong không gian  với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng (d₁): $\frac{x-3}{2}$  = $\frac{y+1}{1}$ = $\frac{z-2}{-2}$ , (d₂): $\frac{x+1}{3}$ = $\frac{y}{-2}$ = $\frac{z+4}{-1}$  và (d₃): $\frac{x+3}{4}$ = $\frac{y-2}{-1}$  = $\frac{z}{6}$ . Đường thẳng song song với (d₃), cắt (d₁) và (d₂) có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, biết mặt phẳng (P): ax + by + cz – 27 = 0, (a, b, c ∈ ℝ, a² + b² + c² ≠ 0) đi qua hai điểm A (3; 2; 1), B (–3; 5; 2) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 3x + y + z + 4 = 0. Tính tổng S = a + b + c.

Trên mặt phẳng tọa độ, cho số phức z = – 1 – 4i. Điểm nào sau đây là điểm biểu diễn của số phức z – $\overline{z}$ ?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (0; 1; 0), B (2; 2; 2), C (–2; 3; 1) và đường thẳng (d): $\frac{x-1}{2}$ = $\frac{y+2}{-1}$  = $\frac{z-3}{2}$ . Tìm điểm M thuộc (d) để thể tích V của tứ diện M.ABC bằng 3.

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = ex và hai đường thẳng x = 0, x = 1 . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox là