Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4y – z + 3 = 0 và hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1:\frac{\mathrm{x}-1}{1}=\frac{\mathrm{y}+2}{4}=\frac{\mathrm{z}-2}{3},$ ${\mathrm{\Delta }}_2:\frac{\mathrm{x}+4}{5}=\frac{\mathrm{y}+7}{9}=\frac{\mathrm{z}}{1}$. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2$ có phương trình là:

Trong không gian Oxyz, gọi d là đường thẳng đi qua điểm M(2;1;1), cắt và vuông góc với đường thẳng $\mathrm{\Delta }:\frac{\mathrm{x}-2}{-2}=\frac{\mathrm{y}-8}{1}=\frac{\mathrm{z}}{1}$. Tìm tọa độ giao điểm của d và mặt phẳng (Oyz)

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm M(0;-1;2) và song song với hai đường thẳng ${\mathrm{d}}_1:\frac{\mathrm{x}+2}{-1}=\frac{\mathrm{y}-1}{2}=\frac{\mathrm{z}}{2}$ và ${\mathrm{d}}_2:\frac{\mathrm{x}-1}{1}=\frac{\mathrm{y}}{-1}=\frac{\mathrm{z}-3}{-2}$ có phương trình là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;-3) và mặt phẳng (P): x + y – 2z – 1 = 0. Phương trình đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(4;-3;5) và B(2;-5;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng $\left(\mathrm{d}\right):\frac{\mathrm{x}+1}{3}=\frac{\mathrm{y}-5}{-2}=\frac{\mathrm{z}+9}{13}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(3;0;0), B(0;-6;0), C(0;0;6) và mặt phẳng $\left(\mathrm{\alpha }\right):\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}-4=0$. Tọa độ hình chiếu vuông góc của trọng tâm tam giác ABC lên mặt phẳng $\left(\mathrm{\alpha }\right)$ là:

Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có $\mathrm{A}\text{'}\left(\sqrt{3};-1;1\right)$, hai đỉnh B, C thuộc trục Oz và AA’ = 1 (C không trùng với O). Biết vectơ $\overrightarrow{\mathrm{u}}=\left(\mathrm{a};\mathrm{b};2\right)$ với $\mathrm{a},\mathrm{b}\in \mathrm{R}$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng A’C. Tính $\mathrm{T}={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2$

Cho tam giác ABC có A(3;0;0), B(0;-6;0), C(0;0;6). Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của trọng tâm tam giác ABC trên mặt phẳng x + y + z – 4 = 0

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;3;1), B(0;2;1) và mặt phẳng (P): x + y + z – 7 = 0. Đường thẳng d nằm trong (P) sao cho mọi điểm của d cách đều hai điểm A, B có phương trình là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y = 0. Phương trình nào sau đây là phương trình đường thẳng qua A(-1;3;-4) cắt trục Ox và song song với mặt phẳng (P):

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;-3) và đường thẳng $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}-1}{-1}=\frac{\mathrm{y}-1}{-2}=\frac{\mathrm{z}}{3}$. Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng (d) là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-1;1), D(0;3;1). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B sao cho C, D cùng phía so với (P) và khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P) là:

Trong mặt phẳng Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y + z – 1 = 0 và mặt phẳng (Q): x – y = 0. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1;1;1), B(1;0;1). Mặt phẳng (P) đi qua A, B và (P) cách điểm O một khoảng lớn nhất. Phương trình của mặt phẳng (P) là:

Phương trình đường thẳng $∆$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(\mathrm{\alpha }\right):\mathrm{x}+2\mathrm{y}+\mathrm{z}-1=0$ và $\left(\mathrm{\beta }\right):\mathrm{x}-\mathrm{y}-\mathrm{z}+2=0$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và 2 đường thẳng ${\mathrm{d}}_1:\frac{\mathrm{x}+3}{1}=\frac{\mathrm{y}-6}{-1}=\frac{\mathrm{z}}{-1}$, ${\mathrm{d}}_2:\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=1+2\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=5-3\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=4\end{array}\right.$. Phương trình mặt phẳng A và song song với ${\mathrm{d}}_1,{\mathrm{d}}_2$ là: