Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tang của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC) và (SBC) bằng:

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;-1), đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{-1}$ và mặt phẳng $\left(P\right):x+y+2z+1=0$. Điểm B thuộc mặt phẳng (P) thỏa mãn đường thẳng AB vuông góc và cắt đường thẳng d. Tọa độ điểm B là:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và B’C’. Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và B’D’ bằng:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): $x^2+y^2+z^2-2x-4y+6z-13=0$ và đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-1}{1}$. Tọa độ điểm M trên đường thẳng d sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu (S) (A, B, C là các tiếp điểm) thỏa mãn $\widehat{AMB}=60°,\widehat{BMC}=90°;\widehat{CMA}=120°$ có dạng M(a;b;c) với a < 0. Tổng $a+b+c$ bằng:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x+2}{4}=\frac{y-1}{-4}=\frac{z+2}{3}$ và mặt phẳng $\left(P\right):2x-y+2z+1=0$. Đường thẳng $∆$ đi qua $E\left(-2;1;-2\right)$ song song với (P) đồng thời tạo với d góc bé nhất. Biết rằng $∆$ có một vec tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}\left(m;n;1\right)$. Tính $T=m^2-n^2$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;3). Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C $\left(A,B,C\ne 0\right)$ sao cho thể tích của tứ diện OABC nhỏ nhất. Phương trình của mặt phẳng (P) là:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(10;6;-2), B(5;10;-9) và mặt phẳng $\left(\alpha \right):2x+2y+z-12=0$. Điểm M di động trên mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ sao cho MA, MB luôn tạo với $\left(\alpha \right)$ các góc bằng nhau. Biết rằng M luôn thuộc một đường tròn $\left(\omega \right)$ cố định. Hoành độ của tâm đường tròn $\left(\omega \right)$ bằng:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=2-t\\ z=t\end{array}\right.,d\text{'}:\left\{\begin{array}{c}x=2t\text{'}\\ y=1+t\text{'}\\ z=2+t\text{'}\end{array}\right.$.

Đường thẳng $∆$ cắt d, d’ lần lượt tại các điểm A, B thỏa mãn độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng $∆$ là:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: $\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-m}{2}$ và mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-2\right)}^2=9$. Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt E, F sao cho độ dài đoạn thẳng EF lớn nhất.

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành, AB = 2a, BC = a, ABC = 1200. Cạnh bên $SD=a\sqrt{3}$ và SD vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính sin của góc tạo bởi SB và mặt phẳng (SAC)

Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và đường thẳng $\left(d\right):\left\{\begin{array}{c}x=-1+2t\\ y=1-t\\ z=2t\end{array}\right.$. Một điểm M thay đổi trên d. Biết giá trị nhỏ nhất của nửa chu vi tam giác MAB là số có dạng $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ với a, b là các số nguyên. Khi đó:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=6$, tiếp xúc với hai mặt phẳng $\left(P\right):x+y+2z+5=0,\left(Q\right):2x-y+z-5=0$ lần lượt tại các tiếp điểm A, B. Độ dài đoạn thẳng AB là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left(1;0;0\right),B\left(0;2;0\right),C\left(0;0;3\right)$. Gọi M là điểm thay đổi trên mặt phẳng (ABC) và N là điểm trên tia OM sao cho OM.ON=1. Biết rằng N luôn thuộc mặt cầu cố định. Viết phương trình mặt cầu đó?

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;3;-2). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục x’Ox, y’Oy, z’Oz lần lượt tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho $OA=OB=OC\ne 0$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB và M, N lần lượt là trung điểm của SC, SD. Tính cô sin của góc giữa hai mặt phẳng (GMN) và (ABCD)

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P): 2x+6y+z-3 = 0 cắt trục Oz và đường thẳng $d:\frac{x-5}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-6}{-1}$ lần lượt tại A và B. Phương trình mặt cầu đường kính AB là: