Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng cạnh đáy. Đường thẳng $MN\left(M\in A\text{'}C,N\in BC\text{'}\right)$ là đường vuông góc chung của A’C và BC’. Tỉ số $\frac{NB}{NC\text{'}}$ bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi I(a;b;c) là tâm mặt cầu đi qua điểm A(1;-1;4) và tiếp xúc với tất cả các mặt phẳng tọa độ. Tính P=a-b+c

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-6x+4y-2z+5=0$. Phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn bán kính bằng 2 là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng $\left(P\right):x-2y+2z+1=0$,$\left(Q\right):x-2y+2z-8=0$, $\left(R\right):x-2y+2z+4=0$. Một đường thẳng $∆$ thay đổi cắt ba mặt phẳng $\left(P\right),\left(Q\right),\left(R\right)$ lần lượt tại các điểm A, B, C. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $AB+\frac{96}{A{C}^2}$ là:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-1}{2}$ và hai điểm $A\left(3;2;1\right),B\left(2;0;4\right)$. Gọi $∆$ là đường thẳng qua A, vuông góc với d sao cho khoảng cách từ B đến $∆$ là nhỏ nhất. Gọi $\overrightarrow{u}=\left(2;b;c\right)$ là một vec to chỉ phương của $∆$. Khi đó, $\left|\overrightarrow{u}\right|$ bằng:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S_1\right)$ có tâm $I\left(2;1;1\right)$ có bán kính bằng 4 và mặt cầu $\left(S_2\right)$ có tâm $J\left(2;1;5\right)$ có bán kính bằng 2. (P) là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu $\left(S_1\right),\left(S_2\right)$. Đặt M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm O đến (P). Giá trị M + m bằng?

Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm $A\left(0;1;1\right),B\left(3;0;-1\right),C\left(0;21;-19\right)$ và mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=1$. Điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho tổng $3M{A}^2+2M{B}^2+M{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó, độ dài vec tơ $\overrightarrow{OM}$ là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng $\left(P\right):x-2y+z-1=0$, $\left(Q\right):x-2y+z+8=0$ và $\left(R\right):x-2y+z-4=0$. Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng (P); (Q); (R) lần lượt tại A, B, C. Đặt $T=\frac{A{B}^2}{4}+\frac{144}{AC}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của T.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với $A\left(1;0;0\right),B\left(3;2;4\right);C\left(0;5;4\right)$. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right|$ nhỏ nhất

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+2}{1}$ và $d_2:\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{7}=\frac{z-3}{-1}$. Đường vuông góc chung của $d_1$ và $d_2$ lần lượt cắt $d_1, d_2$ tại A và B. Diện tích tam giác OAB bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-13}{-1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{4}$ và mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z-67=0$. Qua d dựng các mặt phẳng tiếp xúc với (S) lần lượt tại $T_1,T_2$. Tìm tọa độ trung điểm H của $T_1,T_2$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left(2;0;0\right);B\left(0;4;0\right),C\left(0;0;6\right)$. Điểm M thay đổi trên mặt phẳng (ABC) và điểm N là điểm trên tia OM sao cho $OM.ON=12$. Biết rằng khi M thay đổi, điểm N luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tìm bán kính của mặt cầu đó?

Trong không gian Oxyz, cho A(-4;7;5) và hai đường thẳng $d_1:\left\{\begin{array}{c}x=1-t\\ y=3t\\ z=-2+t\end{array}\right.,d_2:\frac{x+1}{3}=\frac{y-2}{4}=z-1$. Đường thẳng d đi qua A đồng thời cắt $d_1,d_2$ có phương trình là:

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): $x^2+y^2+z^2-2x-2y+4z-20=0$ và mặt phẳng $\left(P\right):x+y-z-m=0$. Tìm m để (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn bán kính lớn nhất.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left(1;0;3\right),B\left(11;-5;-12\right)$. Điểm $M\left(a;b;c\right)$ thuộc mặt phẳng (Oxyz) sao cho $3M{A}^2+2M{B}^2$ nhỏ nhất. Tính $P=a+b+c$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left(2;-1;1\right),M\left(5;3;1\right),N\left(4;1;2\right)$ và mặt phẳng $\left(P\right):y+z=27$. Biết rằng tồn tại điểm B trên tia AM, điểm C trên (P) và điểm D trên tia AN sao cho tứ giác ABCD là hình thoi. Tọa độ điểm C là: