Cho hình bình hành ABCD và điểm F trên cạnh BC. Tia AF cắt BD và DC lần lượt ở E và G. Chứng minh:

a) Chứng minh: ∆DEA  ∆BEF và ∆DGE ∆BAE.

b) Chứng minh: AE² = EF . EG.

c) Chứng minh rằng BF. DG không đổi khi điểm F thay đổi trên BC.

Ta có ABCD là hình bình hành nên:

+ AD // BC hay BF // AD.

Khi đó: $\widehat{EDA}=\widehat{EBF}$; $\widehat{EAD}=\widehat{EFB}$ (các cặp góc so le trong).

+ AB // CD hay AB//GD.

$\widehat{DGE}=\widehat{BAE}$ (hai góc so le trong).

Xét ∆DEA và ∆BEF có:

$\widehat{EDA}=\widehat{EBF}$ (cmt).

$\widehat{EAD}=\widehat{EFB}$ (cmt).

Do đó ∆DEA  ∆BEF (g.g).

Xét ∆DGE và ∆BAE có:

$\widehat{DGE}=\widehat{BAE}$ (cmt)

$\widehat{DEG}=\widehat{BEA}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆DGE ∆BAE (g.g).

Vậy ∆DEA ∆BEF và ∆DGE  ∆BAE.

b) Theo câu a, ta có:

+ ∆DEA ∆BEF suy ra: $\frac{EA}{EF}=\frac{DE}{BE}$ (1)

+ ∆DGE ∆BAE suy ra:  ^{$\frac{DE}{BE}=\frac{EG}{EA}$} (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{EA}{EF}=\frac{EG}{EA}$.

Do đó: EA² = EF . FG (đpcm).

c) Theo câu a, ta có:

+ ∆DEA ∆BEF suy ra: $\frac{DA}{BF}=\frac{DE}{BE}$ (3)

+ ∆DGE ∆BAE suy ra: $\frac{DE}{BE}=\frac{DG}{BA}$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\frac{DA}{BF}=\frac{DG}{BA}$.

Do đó: BF . DG = AD . AB (không đổi).

Vậy BF . DG không đổi khi F thay đổi trên BC.