Cho biểu thức
1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P?
2) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P có giá trị nguyên?
Giải bởi qa.haylamdo.com
1) Điều kiện xác định \[\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x - \sqrt x \ne 0\\x + \sqrt x \ne 0\\x + 2 \ne 0\\x - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 0\\x \ne 1\\x \ne - 2\\x \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\\x \ne 2\end{array} \right.\]
Ta có: \[P = \left[ {\frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right]\,\,:\,\,\frac{{x + 2}}{{x - 2}}\]
\[ = \frac{{x + \sqrt x + 1 - x + \sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}\,\,:\,\,\frac{{x + 2}}{{x - 2}} = \frac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{x + 2}}\]
Vậy: \[P = \frac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{x + 2}}\]
Cách 2:
Đặt \[a = \sqrt x \,\,\left( {a \ge 0} \right)\]
Ta có \[P = \left( {\frac{{{a^3} - 1}}{{{a^2} - a}} - \frac{{{a^3} + 1}}{{{a^2} + a}}} \right)\,\,:\,\,\frac{{{a^2} + 2}}{{{a^2} - 2}}\]
\[ = \left[ {\frac{{\left( {a - 1} \right)\left( {{a^2} + a + 1} \right)}}{{a\left( {a - 1} \right)}} - \frac{{\left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} - a + 1} \right)}}{{a\left( {a + 1} \right)}}} \right].\frac{{{a^2} - 2}}{{{a^2} + 2}}\]
\[ = \left[ {\frac{{\left( {{a^2} + a + 1} \right) - \left( {{a^2} - a + 1} \right)}}{a}} \right].\frac{{{a^2} - 2}}{{{a^2} + 2}} = 2.\frac{{{a^2} - 2}}{{{a^2} + 2}} = 2.\frac{{x - 2}}{{x + 2}}\]
Nhận xét: Bài toán tìm điều kiện và rút gọn biểu thức áp dụng quy tắc tìm điều kiện và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
2) Ta có: \[P = \frac{{2x - 4}}{{x + 2}} = \frac{{2x + 4 - 8}}{{x + 2}} = 2 - \frac{8}{{x + 2}}\]
Để P nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi \[8 \vdots \left( {x + 2} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = \pm 1\\x + 2 = \pm 2\\x + 2 = \pm 4\\x + 2 = \pm 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1;\,\,x = 3\\x = 0;\,\,x = - 4\\x = 2;\,\,x = - 6\\x = 6;\,\,x = - 10\end{array} \right.\]
Vậy \[x = 6\].
Nhận xét: Bài toàn tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nguyên bằng cách phân tích phần nguyên.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M, N, P. Chứng minh rằng:
1) Chứng minh rằng:
a) Tứ giác CEHD nội tiếp.
b) Bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn.
c) \[AE.AC = AH.AD;\,\,AD.BC = BE.AC\].
d) H và M đối xứng với nhau qua BC.
2) Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
1) Giải hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} + 3 = 0\\x + y = 1\end{array} \right.\].
2) Giải phương trình: \[{x^3} - 2{x^2} - 4x = 0\].
3) Cho phương trình \[{x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} - 2x + 4 = 0\]. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt \[{x_1},\,\,{x_2}\] thỏa mãn \[\frac{2}{{x_1^2 + x_2^2}} - \frac{1}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{1}{{15m}}\]?
1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Tổng các chữ số của 1 số có hai chữ số là 9. Nếu thêm vào số đó 63 đơn vị thì số thu được cũng viết bằng hai chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại. Hãy tìm số đó.
2) Chứng minh hàm số y = 2x luôn đồng biến trên tập \[\mathbb{R}\].
Tìm \[x,\,\,y,\,\,z \in \mathbb{N}\] thỏa mãn: \[\sqrt {x + 2\sqrt 3 } = \sqrt y + \sqrt z \].
