Tìm \[x,\,\,y,\,\,z \in \mathbb{N}\] thỏa mãn: \[\sqrt {x + 2\sqrt 3 } = \sqrt y + \sqrt z \].

Định hướng:  Tổng quát dạng toán này là Giải phương trình nghiệm nguyên. Bài toán cho dưới dạng phương trình chứa ba ẩn, với điều kiện \[x,\,\,y,\,\,z \in \mathbb{N}\]  thì các biểu thức trong căn luôn có nghĩa. Tổng quát có dạng \[\sqrt {f\left( {x,y,z} \right)}  = \sqrt {g\left( {x,y,z} \right)}  + \sqrt {h\left( {x,y,z} \right)} \] tư duy nhanh dạng phương trình vô tỉ cơ bản \[\sqrt {f\left( x \right)}  = \sqrt {g\left( x \right)}  + \sqrt {h\left( x \right)} \].

Giả sử \[\left( {x,y,z} \right) = \left( {a,b,c} \right),\,\,\left( {a,b,c \in N} \right)\] là một nghiệm của phương trình đã cho. Vì \[x,y,z \in \mathbb{N}\] nên vận dụng tính chất cơ bản của số học suy ra \[\sqrt y  + \sqrt z \] có một trong hai dạng sau:

1. \[\sqrt y  + \sqrt z  = \sqrt b  + \sqrt c \]. Điều này có nghĩa y, z không cùng là số chính phương.

2. \[\sqrt y  + \sqrt z  = p\,\,\left( {p \in N} \right)\]. Điều này có nghĩa y, z cùng là số chính phương.

Thay vào phương trình ta có: \[\sqrt {a + 2\sqrt 3 }  = \sqrt b  + \sqrt c \].

Bình phương hai vế thu được: \[a + 2\sqrt 3  = b + c + 2\sqrt {bc} \]

Vì \[a,b,c \in N\] nên suy ra:

\[\left\{ \begin{array}{l}a = b + c\\\sqrt 3  = \sqrt {bc} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b + c\\3 = bc\end{array} \right.\]

Từ đây chỉ ra b, c chính là hoán vị bộ số (1; 3).

Với sự xuất hiện hằng số \[2\sqrt 3 \]  trong căn thức vế trái giúp liên tưởng tới biến x sao cho \[\sqrt {x + 2\sqrt 3 }  = {\left( {a + m} \right)^2} = {a^2} + 2am + {m^2}\,\,\left( {a,\,\,m \in N} \right)\].

Để ý rằng \[2\sqrt 3  = 2.1.\sqrt 3 \] có dạng \[2am\left( {a,\,\,m \in N} \right)\], từ đó nhẩm nhanh đẳng thức tương ứng \[{a^2} + {m^2} = {1^2} + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2}\].

Giải:

Ta có: \[\sqrt {x + 2\sqrt 3 }  = \sqrt y  + \sqrt z  \Leftrightarrow x + 2\sqrt 3  = y + z + 2\sqrt {yz} \]

\[ \Leftrightarrow \left( {x - y - z} \right) + 2\sqrt 3  = 2\sqrt {yz}  \Rightarrow {\left( {x - y - z} \right)^2} + 4\sqrt 3 \left( {x - y - z} \right) + 12 = 4yz\] (1)

TH1: Nếu \[x - y - z \ne 0\], ta có \[\sqrt 3  = \frac{{4yz - {{\left( {x - y - z} \right)}^2} - 12}}{{4\left( {x - y - z} \right)}}\]      (2) (vô lý do \[x,y,z \in \mathbb{N}\] nên VP của (2) là số hữu tỉ).

TH2: Nếu \[x - y - z = 0\], ta có (1) \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y - z = 0\\yz = 3\end{array} \right.\] (3)

Giải (3) ra ta được \[\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 1\\z = 3\end{array} \right.\] (thỏa mãn) hoặc \[\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3\\z = 1\end{array} \right.\] (thỏa mãn).