Cho hai biểu thức $A=\frac{x+x^2}{2-x}$  và $B=\frac{2x}{x+1}+\frac{3}{x-2}-\frac{2x^2+1}{x^2-x-2}$

a) Tính giá trị của A khi |2x – 3| = 1.

b) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức B.

c) Tìm số nguyên x để P = A.B đạt giá trị lớn nhất.

a)  $A=\frac{x+x^2}{2-x}$

Điều kiện xác định của biểu thức A là: 2 – x ≠ 0 Û x ≠ 2.

Ta có |2x – 3| = 1

Trường hợp 1: 2x – 3 ≥ 0 thì 2x – 3 = 1

Với 2x – 3 ≥ 0 Û 2x ≥ 3 Û x ≥ $\frac{3}{2}$  thì |2x – 3| = 2x – 3. Khi đó:

2x – 3 = 1 Û 2x = 4 Û x = 2 (không thõa mãn)

Trường hợp 2: 2x – 3 ≤ 0 Û 2x ≤ 3 Û x ≤ $\frac{3}{2}$  thì |2x – 3| = – 2x + 3. Khi đó:

– 2x + 3 = 1 Û 2x = 2 Û x = 1 (thõa mãn)

Thay x = 1 (TMĐK) vào $A=\frac{x+x^2}{2-x}$  ta được:

$A=\frac{1+1^2}{2-1}=\frac{1+1}{1}=2$.

Vậy khi |2x – 3| = 1 thì A = 2.

b) Điều kiện xác định của biểu thức B:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}x+1\ne 0\\ x-2\ne 0\\ x^2-x-2\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x+1\ne 0\\ x-2\ne 0\\ x^2+x-2x-2\ne 0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}x+1\ne 0\\ x-2\ne 0\\ \left(x+1\right)\left(x-2\right)\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x+1\ne 0\\ x-2\ne 0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}x\ne -1\\ x\ne 2\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$

Khi đó, ta có:

$$\begin{gathered} B=\frac{2x}{x+1}+\frac{3}{x-2}-\frac{2x^2+1}{x^2-x-2} \\ =\frac{2x\left(x-2\right)}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}+\frac{3\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-\frac{2x^2+1}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} \\ =\frac{2x^2-4x}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}+\frac{3x+3}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-\frac{2x^2+1}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} \\ =\frac{2x^2-4x+3x+3-\left(2x^2+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)} \\ =\frac{2x^2-4x+3x+3-2x^2-1}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)} \\ =\frac{2x^2-2x^2-4x+3x+3-1}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)} \\ =\frac{-x+2}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)} \\ =\frac{-\left(x-2\right)}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}=\frac{-1}{x+1} \end{gathered}$$

Vậy $B=\frac{-1}{x+1}$ .

c) Ta có P = A.B nên:

$$\begin{gathered} P=\frac{x+x^2}{2-x}.\frac{-1}{x+1} \\ =\frac{x\left(x+1\right)}{2-x}.\frac{-1}{x+1} \\ =\frac{-x}{2-x}=\frac{x}{x-2} \\ =1+\frac{2}{x-2} \end{gathered}$$

Để biểu thức $P=1+\frac{2}{x-2}$  đạt giá trị lớn nhất thì $\frac{2}{x-2}$  đạt giá trị lớn nhất.

Suy ra (x – 2) đạt giá trị nhỏ nhất.

∙ Xét x – 2 < 0 hay x < 2 thì $\frac{2}{x-2}$  < 0.

Do đó không xác định được giá trị nhỏ nhất trong trường hợp này.

∙ Xét x – 2 > 0 hay x > 2 thì $\frac{2}{x-2}$  > 0.

Ta thấy: x là số nguyên lớn hơn 2 mà (x – 2) đạt giá trị nhỏ nhất nên x = 3.

Vậy để P = A . B đạt giá trị lớn nhất thì x = 3.