Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), vẽ đường cao AH. Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = AH. Đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. Gọi M là trung điểm của BE, tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: $\frac{\text{BG}}{\text{BC}}=\frac{\text{HD}}{\text{AH}+\text{HC}}$.

$\frac{\text{BG}}{\text{BC}}=\frac{\text{HD}}{\text{AH}+\text{HC}}$

 $\Rightarrow \frac{\text{BC}}{\text{BG}}=\frac{\text{AH}+\text{HC}}{\text{HD}}$$=1+\frac{\text{HC}}{\text{HD}}$

$\Rightarrow \frac{\text{BC}}{\text{BG}}-1=\frac{\text{HC}}{\text{HD}}\Rightarrow \frac{\text{BC}-\text{BG}}{\text{BG}}=\frac{\text{HC}}{\text{HD}}\Rightarrow \frac{\text{GC}}{\text{GB}}=\frac{\text{HC}}{\text{HD}}$

Ta chứng minh: $\frac{\text{HC}}{\text{HD}}=\frac{\text{GC}}{\text{GB}}$. Ta có: DE // AH $\Rightarrow$$\frac{\text{HC}}{\text{HD}}=\frac{\text{AC}}{\text{AE}}$.

Dựng đường thẳng qua E vuông góc AH tại I, suy ra HIED là hình chữ nhật.

IE = HD = HA; $\widehat{\text{IAE}}=\widehat{\text{HBA}}$ do đó hai tam giác vuông IEA và HBA bằng nhau.

$\Rightarrow \text{AE}=\text{AB}$$\Rightarrow \frac{\text{HC}}{\text{HD}}=\frac{\text{AC}}{\text{AE}}=\frac{\text{AC}}{\text{AB}}$.

Vì M là trung điểm BE, tam giác ABE cân tại A nên AM là tia phân giác góc $\widehat{\text{BAC}}$ hay G là chân đường phân giác trong góc ABC trong tam giác ABC. Từ đó ta có:

$\frac{\text{GC}}{\text{GB}}=\frac{\text{AC}}{\text{AB}}$. Vậy $\Rightarrow \frac{\text{HC}}{\text{HD}}=\frac{\text{AC}}{\text{AE}}=\frac{\text{AC}}{\text{AB}}=\frac{\text{GC}}{\text{GB}}$.