Giải bởi qa.haylamdo.com
Giả sử đã dựng được hai điểm C và D sao cho CD = a và chu vi tứ giác ABCD nhỏ nhất.
Vẽ hình bình hành BMDC (điểm M ở phía gần A).
Khi đó BM = CD = a và DM = BC
Vẽ điểm N đối xứng với điểm M qua xy, điểm N là một điểm cố định và DN = DM.
Ta có AB + BC + CD+ DA nhỏ nhất
<=> BC + DA nhỏ nhất (vì AB và CD không đổi)
<=> DM + DA nhỏ nhất <=> DN + DA nhỏ nhất <=> D nằm giữa A và N.
Từ đó ta xác định điểm D như sau:
- Qua B vẽ một đường thẳng song song với xy và trên đó lấy điểm M sao cho BM = a(điểm M ở phía gần A);
- Vẽ điểm N đối xứng với M qua xy;
- Lấy giao điểm D của AN với xy;
- Lấy điểm sao cho DC = MB = a (DC và MB cùng chiều).
Khi đó tổng AB + BC + CD + DA nhỏ nhất.
Phần chứng minh dành cho bạn đọc.
Cho tứ giác ABCD và một điểm M nằm giữa A và B. Chứng minh rằng MC + MD nhỏ hơn số lớn nhất trong hai tổng AC + AD; BC + BD.
Cho tam giác ABC. Vẽ điểm D đối xứng với A qua điểm B. Vẽ điểm E đối xứng với B qua C. Vẽ điểm F đối xứng với C qua A. Chứng minh rằng tam giác ABC và tam giác DEF có cùng một trọng tâm.
Cho tam giác ABC, đường phân giác AD và một điểm M ở trong tam giác. Vẽ các điểm N, P, A' đối xứng với M lần lượt qua AB, AC và AD.
a) Chứng minh rằng N và P đối xứng qua AA';
Cho tam giác nhọn ABC. Gọi D là điểm nằm giữa B và C. Vẽ các điểm M và N đối xứng với D lần lượt qua AB và AC.
a) Chứng minh rằng góc MAN luôn có số đo không đổi;
Cho tam giác nhọn ABC. Gọi D, E, F lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC, CA, AB. Xác định vị trí của D, E, F để chu vi tam giác DEF nhỏ nhất.
Cho góc xOy khác góc bẹt và một điểm G ở trong góc đó. Dựng điểm , điểm sao cho G là trọng tâm của tam giác OAB.
Cho tam giác ABD. Vẽ điểm C đối xứng với A qua BD. Vẽ các đường phân giác ngoài tại các đỉnh A, B, C, D của tứ giác ABCD chúng cắt nhau tạo thành tứ giác EFGH.
a) Xác định dạng của tứ giác EFGH;
Dựng hình bình hành ABCD biết vị trí trung điểm M của AB, trung điểm N của BC và trung điểm P của CD.
Cho tam giác ABC và O là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Gọi A', B', C' lần lượt là các điểm đối xứng với O qua D, E, F. Chứng minh rằng ba đường thẳng AA', BB', CC' đồng quy.
b) Gọi B', C' là các điểm đối xứng với M lần lượt qua các đường phân giác của góc B, góc C. Chứng minh rằng ba đường thẳng AA', BB', CC' đồng quy.
