Dạng 4. Bài tập nâng cao - phát triển tư duy có đáp án
-
383 lượt thi
-
13 câu hỏi
-
45 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Cho tam giác ABD. Vẽ điểm C đối xứng với A qua BD. Vẽ các đường phân giác ngoài tại các đỉnh A, B, C, D của tứ giác ABCD chúng cắt nhau tạo thành tứ giác EFGH.
a) Xác định dạng của tứ giác EFGH;
a) Vì C đối xứng với A qua BD nên đối xứng với qua BD.
Do đó , suy ra: ; và .
Ta có BD và BE là các tia phân giác trong và ngoài tại đỉnh B nên .
Chứng minh tương tự, ta được: .
Suy ra EF // HG => Tứ giác EFGH là hình thang.
Ta có (cùng phụ với hai góc bằng nhau).
(một nửa của hai góc bằng nhau).
Suy ra
Hình thang EFGH có hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân.
Câu 2:
b) Chứng minh rằng BD là trục đối xứng của tứ giác EFGH.
b)
Chứng minh tương tự, ta được: BE = BF.
Câu 3:
Cho tam giác nhọn ABC. Gọi D là điểm nằm giữa B và C. Vẽ các điểm M và N đối xứng với D lần lượt qua AB và AC.
a) Chứng minh rằng góc MAN luôn có số đo không đổi;
a) Các đoạn thẳng AM và AN đối xứng với AD lần lượt qua AB và AC nên:
.
Ta có:
(không đổi).
Câu 4:
b) Xác định vị trí của D để MN có độ dài ngắn nhất.
b) Xét có AM =AN (cùng bằng AD) nên là tam giác cân. Tam giác cân này có góc MAN không đổi nên cạnh đáy MN ngắn nhất
<=> cạnh bên AM ngắn nhất <=> AD ngắn nhất (vì AM = AD)
D là hình chiếu của A trên BC.
Câu 5:
Cho tam giác nhọn ABC. Gọi D, E, F lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC, CA, AB. Xác định vị trí của D, E, F để chu vi tam giác DEF nhỏ nhất.
Vẽ điểm M đối xứng với D qua AB và vẽ điểm N đối xứng với D qua AC. Khi đó .
Chu vi
Chu vi nhỏ nhất khi độ dài đường gấp khúc MFEN ngắn nhất. Muốn vậy bốn điểm M, F, E, N phải thẳng hàng theo thứ tự đó.
Do đó ta phải tìm điểm D trên BC sao cho MN nhỏ nhất.
Theo kết quả bài 7.2, để MN nhỏ nhất thì D là hình chiếu của A trên BC. Khi đó E và F lần lượt là giao điểm của MN với AC và AB (h.7.12).
Ta chứng minh với cách xác định D, E, F như vậy thì chu vi nhỏ nhất.
Thật vậy, khi thì chu vi bằng MN và MN nhỏ nhất. (1)
Khi D, E, F ở những vị trí khác thì chu vi bằng độ dài đường gấp khúc MFEN do đó lớn hơn MN. (2)
Chú ý: Ta có nhận xét điểm E là chân đường cao vẽ từ đỉnh B, điểm F là chân đường cao vẽ từ đỉnh C của .
Thật vậy, xét có các đường BF và CE lần lượt là các đường phân giác ngoài tại đỉnh F và E. Hai đường thẳng này cắt nhau tại A nên tia DA là tia phân giác của góc EDF.
Ta có: nên DC là tia phân giác ngoài tại đỉnh D của .
Mặt khác, EC là đường phân giác ngoài tại đỉnh E.
Điểm C là giao điểm của hai đường phân giác ngoài nên FC là đường phân giác trong. Kết hợp với FB là đường phân giác, suy ra hay .
Chứng minh tương tự, ta được .
Như vậy ba điểm D, E, F có thể xác định bởi chân của ba đường cao của tam giác.
Câu 6:
Giả sử đã dựng được hai điểm C và D sao cho CD = a và chu vi tứ giác ABCD nhỏ nhất.
Vẽ hình bình hành BMDC (điểm M ở phía gần A).
Khi đó BM = CD = a và DM = BC
Vẽ điểm N đối xứng với điểm M qua xy, điểm N là một điểm cố định và DN = DM.
Ta có AB + BC + CD+ DA nhỏ nhất
<=> BC + DA nhỏ nhất (vì AB và CD không đổi)
<=> DM + DA nhỏ nhất <=> DN + DA nhỏ nhất <=> D nằm giữa A và N.
Từ đó ta xác định điểm D như sau:
- Qua B vẽ một đường thẳng song song với xy và trên đó lấy điểm M sao cho BM = a(điểm M ở phía gần A);
- Vẽ điểm N đối xứng với M qua xy;
- Lấy giao điểm D của AN với xy;
- Lấy điểm sao cho DC = MB = a (DC và MB cùng chiều).
Khi đó tổng AB + BC + CD + DA nhỏ nhất.
Phần chứng minh dành cho bạn đọc.
Câu 7:
Cho tam giác ABC, đường phân giác AD và một điểm M ở trong tam giác. Vẽ các điểm N, P, A' đối xứng với M lần lượt qua AB, AC và AD.
a) Chứng minh rằng N và P đối xứng qua AA';
a)
- AN đối xứng với AM qua AB
=> AN = AM và . (1)
- AP đối xứng với AM qua AC
=> AP = AM và . (2)
·- AA' đối xứng với AM qua AD nên .
Mặt khác, nên (3)
Từ (1) và (3) suy ra .
Ta có .
Chứng minh tương tự, ta được: , suy ra: .
cân tại A có AA' là đường phân giác nên AA' cũng là đường trung trực của NP 
N và P đối xứng qua AA'.
Câu 8:
b) Gọi B', C' là các điểm đối xứng với M lần lượt qua các đường phân giác của góc B, góc C. Chứng minh rằng ba đường thẳng AA', BB', CC' đồng quy.
b) Gọi Q là điểm đối xứng của M qua BC.
Chứng minh tương tự như trên ta được BB' là đường trung trực của NQ và CC' là đường trung trực của PQ.
Vậy AA', BB', CC' là ba đường trung trực của nên chúng đồng quy.
Câu 9:
Cho tứ giác ABCD và một điểm M nằm giữa A và B. Chứng minh rằng MC + MD nhỏ hơn số lớn nhất trong hai tổng AC + AD; BC + BD.
Trước hết ta chứng minh bài toán phụ:
Cho tam giác ABC, điểm M ở trong tam giác (hoặc ở trên một cạnh nhưng không trùng với các đỉnh của tam giác). Chứng minh rằng (h.7.15).
Thật vậy, xét , ta có hay . (1)
Xét có MC < DC + MD. (2)
Cộng từng vế của (1) và (2) ta được:
Bất đẳng thức trên vẫn đúng nếu điểm M nằm trên một cạnh nhưng không trùng với đỉnh của tam giác.
Bây giờ ta vận dụng kết quả trên để giải bài toán đã cho.
Vẽ điểm E đối xứng với D qua đường thẳng AB (h.7.16).
Khi đó AE = AD; ME = MD và BE = BD.
Vì điểm M nằm giữa A và B nên hoặc điểm M nằm trong hoặc điểm M nằm trong hoặc điểm M nằm trên cạnh EC.
Ta có hay .
Do đó .
Câu 10:
Cho tam giác ABC và O là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Gọi A', B', C' lần lượt là các điểm đối xứng với O qua D, E, F. Chứng minh rằng ba đường thẳng AA', BB', CC' đồng quy.
Ta có AC' và BO đối xứng nhau qua F nên AC' = BO và AC' // BO. (1)
BO và CA' đối xứng nhau qua D nên BO = CA' và BO // CA' (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AC' = CA' và AC // CA', do đó tứ giác ACA'C' là hình bình hành.
Chứng minh tương tự ta được tứ giác ABA'B' là hình bình hành.
Hai hình bình hành ACA'C' và ABA'B' có chung đường chéo AA' nên các đường chéo AA', BB', CC' đồng quy.
Câu 11:
Cho góc xOy khác góc bẹt và một điểm G ở trong góc đó. Dựng điểm , điểm sao cho G là trọng tâm của tam giác OAB.
- Phân tích
Giả sử đã dựng được điểm và sao cho G là trọng tâm của .
Tia OG cắt AB tại trung điểm M của AB và .
Vẽ điểm N đối xứng với O qua điểm M. Tứ giác ANBO là hình bình hành => NA // Oy; NB // Ox, từ đó xác định được A và B.
- Cách dựng
+ Trên tia OG lấy điểm M sao cho .
+ Dựng điểm N đối xứng với điểm O qua M.
+ Từ N dựng một tia song song với Oy cắt Ox tại A.
+ Từ N dựng một tia song song với Ox cắt Oy tại B.
Khi đó G là trọng tâm của tam giác AOB.
- Chứng minh
Tứ giác ANBO là hình bình hành, suy ra AB và ON cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mặt khác, M là trung điểm của ON nên M là trung điểm của AB.
Vậy OM là đường trung tuyến của tam giác AOB.
Ta có nên G là trọng tâm của .
Câu 12:
Cho tam giác ABC. Vẽ điểm D đối xứng với A qua điểm B. Vẽ điểm E đối xứng với B qua C. Vẽ điểm F đối xứng với C qua A. Chứng minh rằng tam giác ABC và tam giác DEF có cùng một trọng tâm.
Vẽ đường trung tuyến AM của tam giác ABC và đường trung tuyến DN của tam giác DEF. Gọi G là giao điểm của hai đường trung tuyến này. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của GA và GD.
Xét có AN là đường trung bình => AN // CE và do đó AN // BM và AN = BM dẫn tới ANMB là hình bình hành =>MN // AB và .
Mặt khác, HK là đường trung bình của nên HK // AD và .
Từ đó MN // HK và MN = HK.
Suy ra MNHK là hình bình hành, hai đường chéo HM và NK cắt nhau tại G nên G là trung điểm của mỗi đường.
Do đó GM = GH = HA => G là trọng tâm của .
GN = GK = KD => G là trọng tâm của .
Vậy và có cùng một trọng tâm.
Câu 13:
Dựng hình bình hành ABCD biết vị trí trung điểm M của AB, trung điểm N của BC và trung điểm P của CD.
- Phân tích
Giả sử đã dựng được hình bình hành ABCD thỏa mãn đề bài.
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Ta có M và P đối xứng qua O.
Gọi Q là giao điểm của NO với AD thì Q và N đối xứng qua O.
Vậy điểm Q xác định được, từ đó xác định được hình bình hành ABCD.
- Cách dựng
+ Dựng trung điểm O của MP;
+ Dựng điểm Q đối xứng với N qua O;
+ Qua M và P dựng những đường thẳng song song với NQ; qua N và Q dựng những đường thẳng song song với MP ta được các giao điểm A, B, C, D.
Khi đó tứ giác ABCD là hình bình hành phải dựng.
Các phần còn lại, bạn đọc tự giải.