1) Giải hệ phương trình sau: $\{\begin{array}{l}\frac{3}{2x-7}+\frac{4}{y+6}=7\\ \frac{2}{2x-7}-\frac{3}{y+6}=-1\end{array}$

2) Cho Parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = (m + 4)x – 4m

a) Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.

b) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m = −2.

 

1) Điều kiện xác định: $\{\begin{array}{l}2x-7\ne 0\\ y+6\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ne \frac{7}{2}\\ y\ne -6\end{array}$

Đặt u = $\frac{1}{2x-7}$ (u ≠ 0) và v = $\frac{1}{x+6}$(v ≠ 0)

Hệ phương trình trở thành $\{\begin{array}{l}3u+4v=7\\ 2u-3v=-1\end{array}$

Û $\{\begin{array}{l}3.\frac{-1+3v}{2}+4v=7\\ u=\frac{-1+3v}{2}\end{array}$ Û $\{\begin{array}{l}-3+9v+8v=14\\ u=\frac{-1+3v}{2}\end{array}$ 

Û $\{\begin{array}{l}17v=17\\ u=\frac{-1+3v}{2}\end{array}$ Û $\{\begin{array}{l}v=1\\ u=1\end{array}$ (thỏa mãn)

∙ u = $\frac{1}{2x-7}$= 1 Û 2x – 7 = 1 Û x = 4 (thỏa mãn)

∙ v = $\frac{1}{x+6}$ = 1 Û x + 6 = 1 Û y = −5 (thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm là (4; −5).

2)

a) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

x² = (m + 4)x – 4m

Û x² – (m + 4)x + 4m = 0 (1)

Ta có: ∆ = [– (m + 4)]² – 4.1.4m = m² + 8m + 16 – 16m

= m² – 8m + 16 = (m – 4)².

Để đường thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt. Do đó ∆ = (m – 4)² > 0 (2)

Mà (m – 4)² ≥ 0 với mọi giá trị của m nên (2) Û (m – 4)² ≠ 0 Û m ≠ 4.

Vậy để đường thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì m ≠ 4.

b) Khi m = −2 ta có (d): y = (−2 + 4)x – 4.(−2) = 2x + 8

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

x² = 2x + 8

Û x² – 2x – 8 = 0

Û x² + 2x – 4x – 8 = 0

Û x( x + 2) – 4(x + 2) = 0

Û (x – 4)(x + 2) = 0

Û$[\begin{array}{l}\text{x}=4\\ \text{x}=-2\end{array}$

• Với x = 4 thì y = 2x + 8 = 2.4 + 8 = 16.

Do đó, ta có tọa độ giao điểm của (P) và (d) là A(4; 16).

• Với x = –2 thì y = 2x + 8 = 2.(–2) + 8 = 4.

Do đó, ta có tọa độ giao điểm của (P) và (d) là B(−2; 4).

Vậy hai đồ thị hàm số trên có 2 giao điểm là A(4; 16) và B(−2; 4).