Cho x, y là hai số thực thỏa mãn x.y = 1.

Chứng minh rằng $\frac{4}{{(x+y)}^2}+x^2+y^2\ge 3$. Đẳng thức xảy ra khi nào? 

Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Dây CD vuông góc với AB tại E (E nằm giữa A và O; E không trùng A, không trùng O). Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC sao cho cung MB nhỏ hơn cung MC. Dây AM cắt CD tại F. Tia BM cắt đường thẳng CD tại K.

1) Chứng minh tứ giác BMFE nội tiếp.

2) Chứng minh BF vuông góc với AK và EK.EF = EA.EB

3) Tiếp tuyến của (O) tại M cắt tia KD tại I. Chứng minh IK = IF.

Cho $P=(\frac{1}{\sqrt{x}+1}-\frac{1}{x+\sqrt{x}}):\frac{\sqrt{x}}{x+2\sqrt{x}+1}$ (với x > 0)

1) Rút gọn biểu thức P.

2) Tính giá trị của P khi x = 4.

3) Tìm giá trị của x để $P>\frac{2}{3}$.

Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 68 m. Nếu tăng chiều rộng lên gấp đôi và chiều dài lên gấp ba thì chu vi khu vườn mới là 178 m. Hãy tìm chiều dài, chiều rộng của  khu vườn đã cho lúc ban đầu.

Cho hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}2x+y=3m-2\\ 3x-y=2m+2\end{array}$ (m là tham số)  (I)

1) Giải hệ phương trình đã cho khi m = −1.

2) Tìm m để hệ (I) có cặp nghiệm (x; y) duy nhất thỏa mãn: x² + y² = 10.