Cho tam giác nhọn ABC có AD, BE, CF là ba đường cao cắt nhau tại H. M, N lần lượt là hình chiếu của B, C trên đường thẳng EF. Chứng minh rằng:

a) $\Delta AEF~\Delta ABC$

b) H là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta DEF$

c) A, B, C là tâm đường tròn bàng tiếp của $\Delta DEF$

d) $DE+DF=MN$

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi Clà một điểm trên tia Ax, kẻ tiếp tuyến CM với nửa đường tròn (Mlà tiếp điểm), CM cắt By ở D

a) Tính số đo $\widehat{COD}$

b) Gọi I là giao điểm của $OC,AM,K$ là giao điểm của OD và MB. Tứ giác OIMK là hình gì ? Vì sao ?

c) Chứng minh tích AC.BD không đổi khi C di chuyển trên Ax

d) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD

Cho $\Delta ABC$ nhọn. Đường tròn tâm O, đường kính BC cắt AB ở M và cắt AC ở N. Gọi H là giao điểm của BN và CM. AH cắt BC tại K

a) Chứng minh $AK\perp BC$

b) Gọi E là trung điểm của AH. Chứng minh EM là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c) Cho biết $\sin \stackrel{}{BAC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Hãy so sánh AH và BC.

M là điểm tùy ý thuộc đường thẳng cố định d nằm ngoài đường tròn (O; R). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MP, MQ với đường tròn (O) (P, Q là các tiếp điểm). Hạ OH vuông góc với đường thẳng d. Dây cung PQ cắt OH ở I, cắt OM ở K. Chứng minh rằng:

a) $OI.OH=OK.OM=R^2$

b) Khi M thay đổi trên đường thẳng d thì vị trí của điểm I luôn luôn không đổi

Cho hàm số $y=\left(m+1\right)x-2m+1\left(d\right)$

a) Xác định m để đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ

b) Tìm m để đường thẳng (d) đi qua A(3; 4).Vẽ đồ thị vừa tìm được

c) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng vừa vẽ với đt $\left(d\text{'}\right)y=-2x+4$

d) Tìm số đo góc $\alpha$ tạo bởi đường thẳng (d') với trục Ox.

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm $A\left(-1;-1\right);B\left(2;5\right).$

a) Biết đồ thị của nó là đường thẳng đi qua A, B. Tìm hàm số đó

b) Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua A, B

Cho hàm số bậc nhất y = -2x + 3

a) Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến ? Vì sao ?

b) Vẽ đồ thị (d) của hàm số trên.

c) Gọi M là điểm có tọa độ $\left(a;b\right)\in$ đồ thị (d) nói trên. Xác định a, b biết rằng $\sqrt{a}.\left(\sqrt{b}+1\right)=2$