Trên nửa đường tròn (O;R) đường kính BC, lấy điểm A sao cho BA = R.

a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A và tính số đo các góc B, C của tam giác vuông ABC.

b) Qua B kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn (O), nó cắt tia CA tại D. Qua D kẻ tiếp tuyến DE với nửa đường tròn (O) (E là tiếp điểm). Gọi I là giao điểm của OD và BE. Chứng minh rằng $OD\perp BE và DI.DO=DA.DC$

c) Kẻ EH vuông góc với BC tại H. EH cắt CD tại G. Chứng minh IG song song với BC.

a) Ta có OA = R, BC = 2R

$\Rightarrow OA=OB=OC=\frac{BC}{2}=R$ 

$\Rightarrow \Delta ABC$  vuông tại A(định lý đảo đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Ta có $\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{C}={30}^0$ 

$\widehat{B}={90}^0-{30}^0={60}^0$ 

b) Vì DB, DE là 2 tiếp tuyến cắt nhau $\Rightarrow DB=DE$ và OB = OE = R 

$\Rightarrow$ OD là đường trung trực BE$\Rightarrow OD\perp BE$

$\Delta DBO$ vuông tại B, BI là đường cao

$\Rightarrow DI.DO=D{B}^2$ (áp dụng hệ thức lượng) (1)

$\Delta DBC$ vuông tại B, BA là đường cao

$\Rightarrow D{B}^2=DA.DC$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông ) (2)

Từ (1), (2) $\Rightarrow DI.DO=DA.DC$ 

c) Kéo dài CE cắt BD tại F. Vì $\widehat{BEC}={90}^0\Rightarrow \widehat{BEF}={90}^0$ (tính chất kề bù)

mà DB = DE (chứng minh trên)

suy ra ED là đường trung tuyến $\Delta FEB$ vuông tại E$\Rightarrow BD=DF$

Vì  GH // BD (cùng $\perp BC)$ $\Rightarrow \frac{GH}{BD}=\frac{GC}{DC}(Ta-let)\left(3\right)$ 

Vì GE // DF (cùng $\perp BC)$$\Rightarrow \frac{GE}{DF}=\frac{GC}{DC}\left(4\right)$ 

Từ (3) và (4) $\Rightarrow \frac{GH}{BD}=\frac{GE}{DF}doBD=DF\left(cmt\right)\Rightarrow GH=GE$ 

Mà IB = IC (OD trung trực BE)

Do đó IG là đường trung bình tam giác EHB

$\Rightarrow IG//BH\Rightarrow IG//BC\left(dpcm\right)$