Câu hỏi:

18/07/2024 73

Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} x + y = m \\ x^{2} + y^{2} = - m^{2} + 6 \end{cases}$ (m là tham số).

Hãy tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) sao cho biểu thức $A = x y + 2 (x + y)$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi qa.haylamdo.com

Giải chi tiết

Nhận xét: $\{\begin{cases} x + y = m \\ x^{2} + y^{2} = - m^{2} + 6 \end{cases}$ là hệ phương trình đối xứng loại 1.

Đặt $S = x + y; P = x y$ . Điều kiện: $S^{2} \geq 4 P$ .

$\Rightarrow x^{2} + y^{2} = {(x + y)}^{2} - 2 x y = S^{2} - 2 P$ .

Ta có hệ: $\{\begin{cases} S = m \\ S^{2} - 2 P = - m^{2} + 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} S = m \\ P = m^{2} - 3 \end{cases}$

Hệ phương trình có nghiệm $(x; y)$ khi và chỉ khi

$S^{2} \geq 4 P \Leftrightarrow m^{2} \geq 4 m^{2} - 12 \Leftrightarrow 3 m^{2} \leq 12 \Leftrightarrow m^{2} \leq 4 \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq 2$ .

Ta có: $A = x y + 2 (x + y) = m^{2} - 3 + 2 m = m^{2} + 2 m + 1 - 4 = {(m + 1)}^{2} - 4$ .

Vì $- 2 \leq m \leq 2 \Leftrightarrow - 1 \leq m + 1 \leq 3 \Leftrightarrow 0 \leq {(m + 1)}^{2} \leq 9$

$\Rightarrow - 4 \leq A \leq 5$ .

Giá trị nhỏ nhất của A là -4 đạt được khi $m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1$ .

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{2} - 3 x = - 2 y (1) \\ y^{2} - 3 y = - 2 x (2) \end{cases}$ .

Xem đáp án » 19/10/2022 77

Câu 2:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 10 \\ (x + 1) (y + 1) = 8 \end{cases}$ .

Xem đáp án » 19/10/2022 74

Câu 3:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 3 x = \frac{x^{2} + 2}{y^{2}} \\ 3 y = \frac{y^{2} + 2}{x^{2}} \end{cases}$ .

Xem đáp án » 19/10/2022 74

Câu 4:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} + 4 \sqrt{x y} = 16 \\ x + y = 10 \end{cases}$ .

Xem đáp án » 19/10/2022 73

Câu 5:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{3} + 2 x = y (1) \\ y^{3} + 2 y = x (2) \end{cases}$ .

Xem đáp án » 19/10/2022 73

Câu 6:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{2} + \frac{1}{y^{2}} + \frac{x}{y} = 27 \\ x + \frac{1}{y} + \frac{x}{y} = 15 \end{cases}$ .

Xem đáp án » 19/10/2022 71

Câu 7:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + x y = 3 \\ x + y = 2 \end{cases}$ .

Xem đáp án » 19/10/2022 69

Câu 8:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{2} + 4 y^{2} = 5 \\ (x + 2 y) (5 + 4 x y) = 27 \end{cases}$ .

Xem đáp án » 19/10/2022 68

Câu 9:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x y + x + y = 3 \\ x^{2} y + x y^{2} = 2 \end{cases}$ .

Xem đáp án » 19/10/2022 62

Câu 10:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6} \\ x^{2} y + x y^{2} = 30 \end{cases}$ .

Xem đáp án » 19/10/2022 62

Câu 11:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{3} = 2 y + x \\ y^{3} = 2 x + y \end{cases}$ .

Xem đáp án » 19/10/2022 61

Câu 12:

Tính giá trị của biểu thức $M = a^{2} + b^{2}$ biết a, b thỏa mãn: $\{\begin{cases} \frac{3 a^{2}}{b^{2}} + \frac{1}{b^{3}} = 1 \\ \frac{3 b^{2}}{a^{2}} + \frac{2}{a^{3}} = 1 \end{cases}$ .

Xem đáp án » 19/10/2022 59

Câu 13:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 2 x + 3 y = x y + 5 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y + 1} = 1 \end{cases}$ .

Xem đáp án » 19/10/2022 59

Câu 14:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 3 x^{2} + 8 y^{2} + 12 x y = 23 \\ x^{2} + y^{2} = 2 \end{cases}$ .

Xem đáp án » 19/10/2022 59

Câu 15:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 2 x + y = x^{2} \\ 2 y + x = y^{2} \end{cases}$ .

Xem đáp án » 19/10/2022 55

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

Trắc nghiệm Toán 9 (Có đáp án): Căn thức bậc hai

2 đề 15211 lượt thi Thi thử
Bộ 30 đề thi vào 10 môn Toán có lời giải chi tiết

29 đề 5688 lượt thi Thi thử
Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1)

31 đề 4628 lượt thi Thi thử
Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1)

31 đề 4391 lượt thi Thi thử
Đề thi Học kì 2 Toán 9 chọn lọc, có đáp án

17 đề 4307 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Toán 9 Bài 1 (có đáp án): Căn bậc hai

2 đề 3753 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra 15 phút Toán 9 Chương 1 Đại Số (có đáp án)

7 đề 3616 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Toán 9 Bài 2 (có đáp án): Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

2 đề 3231 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra giữa học kì 2 môn Toán 9 ( Mới nhất)

22 đề 3057 lượt thi Thi thử
Đề thi Học kì 1 Toán 9 chọn lọc, có đáp án

6 đề 2885 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Câu hỏi:

Cho hệ phương trình x+y=mx2+y2=−m2+6 (m là tham số). Hãy tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) sao cho biểu thức A=xy+2x+y đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Trả lời:

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Giải hệ phương trình x2−3x=−2y (1)y2−3y=−2x (2).

Câu 2:

Giải hệ phương trình x2+y2=10x+1y+1=8.

Câu 3:

Giải hệ phương trình 3x=x2+2y23y=y2+2x2.

Câu 4:

Giải hệ phương trình x+y+4xy=16x+y=10 .

Câu 5:

Giải hệ phương trình x3+2x=y​ (1)y3+2y=x (2).

Câu 6:

Giải hệ phương trình x2+1y2+xy=27x+1y+xy=15.

Câu 7:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{2} - 3 x = - 2 y (1) \\ y^{2} - 3 y = - 2 x (2) \end{cases}$ .

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 10 \\ (x + 1) (y + 1) = 8 \end{cases}$ .

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 3 x = \frac{x^{2} + 2}{y^{2}} \\ 3 y = \frac{y^{2} + 2}{x^{2}} \end{cases}$ .

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} + 4 \sqrt{x y} = 16 \\ x + y = 10 \end{cases}$ .

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{3} + 2 x = y (1) \\ y^{3} + 2 y = x (2) \end{cases}$ .

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{2} + \frac{1}{y^{2}} + \frac{x}{y} = 27 \\ x + \frac{1}{y} + \frac{x}{y} = 15 \end{cases}$ .