18 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Chủ đề 2: Một số hệ phương trình quy về hệ bậc nhất có đáp án

Câu 1:

\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + x y = 3 \\ x + y = 2 \end{cases}

.

Xem đáp án

Giải chi tiết

Ý tưởng: Biến đổi phương trình (1) về tổng và tích của x và y.

$\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + x y = 3 \\ x + y = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(x + y)}^{2} - 2 x y + x y = 3 \\ x + y = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(x + y)}^{2} - x y = 3 \\ x + y = 2 \end{cases}$

Đặt $S = x + y; P = x y$ . Điều kiện: $S^{2} \geq 4 P$ .

Ta có hệ: $\{\begin{cases} S^{2} - P = 3 \\ S = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} S = 2 \\ 4 - P = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} S = 2 \\ P = 1 \end{cases}$ (thỏa mãn).

x và y là nghiệm của phương trình bậc hai: $X^{2} - 2 X + 1 = 0 \Leftrightarrow {(X - 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow X = 1$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(1; 1)$ .

Câu 2:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 10 \\ (x + 1) (y + 1) = 8 \end{cases}$ .

Xem đáp án

Giải chi tiết

$\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 10 \\ (x + 1) (y + 1) = 8 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(x + y)}^{2} - 2 x y = 10 \\ x y + x + y + 1 = 8 \end{cases}$

Đặt $S = x + y; P = x y$ . Điều kiện: $S^{2} \geq 4 P$ .

Ta có hệ: $\{\begin{cases} S^{2} - 2 P = 10 \\ P + S + 1 = 8 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} S^{2} - 2 P = 10 \\ P = 7 - S \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} S^{2} - 2 (7 - S) = 10 \\ P = 7 - S \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} S^{2} + 2 S - 24 = 0 \\ P = 7 - S \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} S = 4 \\ P = 3 \end{cases}$ hoặc $\{\begin{cases} S = - 6 \\ P = 13 \end{cases}$ .

Mà $S^{2} \geq 4 P \Rightarrow S = 4, P = 3$ thỏa mãn.

Khi đó, x và y là nghiệm của phương trình bậc hai

$X^{2} - 4 X + 3 = 0 \Leftrightarrow (X - 1) (X - 3) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} X = 1 \\ X = 3 \end{array}$ .

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(1; 3), (3; 1)$ .

Câu 3:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} + 4 \sqrt{x y} = 16 \\ x + y = 10 \end{cases}$ .

Xem đáp án

Giải chi tiết

Điều kiện xác định: $x \geq 0; y \geq 0$ .

Đặt $S = \sqrt{x} + \sqrt{y}; P = \sqrt{x y}$ . Điều kiện: $S^{2} \geq 4 P$ và $S \geq 0; P \geq 0$ .

Ta có hệ: $\{\begin{cases} S + 4 P = 16 \\ S^{2} - 2 P = 10 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} S + 4 P = 16 \\ 2 S^{2} - 4 P = 20 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} S + 4 P = 16 \\ 2 S^{2} + S - 36 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} S = 4 \\ P = 3 \end{cases}$ (thỏa mãn ) hoặc $\{\begin{cases} S = - \frac{9}{2} \\ P = \frac{41}{8} \end{cases}$ (loại).

Khi đó $\sqrt{x}$ và $\sqrt{y}$ là nghiệm của phương trình bậc hai.

$X^{2} - 4 X + 3 = 0 \Leftrightarrow (X - 1) (X - 3) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} X = 1 \\ X = 3 \end{array}$ .

Vậy hệ phương trình có nghiệm là

(1; 9), (9; 1)

.

Câu 4:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{2} - 3 x = - 2 y (1) \\ y^{2} - 3 y = - 2 x (2) \end{cases}$ .

Xem đáp án

Giải chi tiết

Trừ từng vế của hai phương trình ta được:

$x^{2} - y^{2} - 3 x + 3 y = - 2 y + 2 x \Leftrightarrow (x - y) (x + y) - 5 (x - y) = 0 \Leftrightarrow (x - y) (x + y - 5) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = y \\ x = 5 - y \end{array}$

Với $x = y$ thay vào (1) ta được: $y^{2} - y = 0 \Leftrightarrow y (y - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} y = 0 \Rightarrow x = 0 \\ y = 1 \Rightarrow x = 1 \end{array}$ .

Với $x = 5 - y$ thay vào (1) ta được: $\begin{array}{l} y^{2} - 3 y = - 2 (5 - y) \Leftrightarrow y^{2} - 3 y = - 10 + 2 y \\ \Leftrightarrow y^{2} - 5 y + 10 = 0 \end{array}$ (vô nghiệm).

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là $(x; y) \in \{(0; 0), (1; 1)\}$ .

Câu 5:

Giải hệ phương trình

\{\begin{cases} x^{3} + 2 x = y ​ (1) \\ y^{3} + 2 y = x (2) \end{cases}

.

Xem đáp án

Giải chi tiết

Trừ từng vế của hai phương trình ta được:

$\begin{array}{l} x^{3} - y^{3} + 3 x - 3 y = 0 \Leftrightarrow (x - y) (x^{2} + y^{2} + x y + 3 = 0) \\ \Leftrightarrow (x - y) [{(x + \frac{y}{2})}^{2} + \frac{3 y^{2}}{4} + 3] = 0 \Leftrightarrow y = x \end{array}$

Với $y = x$ thay vào (1) ta được: $x^{3} + x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ .

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (0;0 ).

Câu 6:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 3 x = \frac{x^{2} + 2}{y^{2}} \\ 3 y = \frac{y^{2} + 2}{x^{2}} \end{cases}$ .

Xem đáp án

Giải chi tiết

Vì vế phải của mỗi phương trình đều dương nên ta có $\{\begin{cases} x > 0 \\ y > 0 \end{cases}$ .

Ta có: $\{\begin{cases} 3 x = \frac{x^{2} + 2}{y^{2}} \\ 3 y = \frac{y^{2} + 2}{x^{2}} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x y^{2} = x^{2} + 2 (1) \\ 3 y x^{2} = y^{2} + 2 (2) \end{cases}$ .

Trừ từng vế của hai phương trình (1) và (2) ta được:

$3 x y^{2} - 3 y x^{2} = x^{2} - y^{2} \Leftrightarrow 3 x y (y - x) = (x - y) (x + y) \Leftrightarrow (x - y) (3 x y + x + y) = 0$

Vì $x > 0, y > 0 \Rightarrow 3 x y + x + y > 0$

$\Rightarrow x = y$ .

Với x=y thay vào (1) ta được: $3 x^{3} - x^{2} - 2 = 0 \Leftrightarrow (x - 1) (3 x^{2} + 2 x + 2) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 1$ .

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (1;1).

Câu 7:

Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} x + y = m \\ x^{2} + y^{2} = - m^{2} + 6 \end{cases}$ (m là tham số).

Hãy tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) sao cho biểu thức $A = x y + 2 (x + y)$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Xem đáp án

Giải chi tiết

Nhận xét: $\{\begin{cases} x + y = m \\ x^{2} + y^{2} = - m^{2} + 6 \end{cases}$ là hệ phương trình đối xứng loại 1.

Đặt $S = x + y; P = x y$ . Điều kiện: $S^{2} \geq 4 P$ .

$\Rightarrow x^{2} + y^{2} = {(x + y)}^{2} - 2 x y = S^{2} - 2 P$ .

Ta có hệ: $\{\begin{cases} S = m \\ S^{2} - 2 P = - m^{2} + 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} S = m \\ P = m^{2} - 3 \end{cases}$

Hệ phương trình có nghiệm $(x; y)$ khi và chỉ khi

$S^{2} \geq 4 P \Leftrightarrow m^{2} \geq 4 m^{2} - 12 \Leftrightarrow 3 m^{2} \leq 12 \Leftrightarrow m^{2} \leq 4 \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq 2$ .

Ta có: $A = x y + 2 (x + y) = m^{2} - 3 + 2 m = m^{2} + 2 m + 1 - 4 = {(m + 1)}^{2} - 4$ .

Vì $- 2 \leq m \leq 2 \Leftrightarrow - 1 \leq m + 1 \leq 3 \Leftrightarrow 0 \leq {(m + 1)}^{2} \leq 9$

$\Rightarrow - 4 \leq A \leq 5$ .

Giá trị nhỏ nhất của A là -4 đạt được khi $m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1$ .

Câu 8:

Tính giá trị của biểu thức $M = a^{2} + b^{2}$ biết a, b thỏa mãn: $\{\begin{cases} \frac{3 a^{2}}{b^{2}} + \frac{1}{b^{3}} = 1 \\ \frac{3 b^{2}}{a^{2}} + \frac{2}{a^{3}} = 1 \end{cases}$ .

Xem đáp án

Giải chi tiết

Điều kiện xác định: $a \neq 0; b \neq 0$ .

Ta có: $\{\begin{cases} \frac{3 a^{2}}{b^{2}} + \frac{1}{b^{3}} = 1 \\ \frac{3 b^{2}}{a^{2}} + \frac{1}{a^{3}} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 a^{2} b + 1 = b^{3} \\ 3 a b^{2} + 2 = a^{3} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} b^{3} - 3 a^{2} b = 1 \\ a^{3} - 3 a b^{2} = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(b^{3} - 3 a^{2} b)}^{2} = 1 \\ {(a^{3} - 3 a b^{2})}^{2} = 4 \end{cases}$

Cộng từng vế của hai phương trình ta được:

$(b^{6} - 6 a^{2} b^{4} + 9 a^{4} b^{2}) + (a^{6} - 6 a^{4} b^{2} + 9 a^{2} b^{4}) = 5$

$\Leftrightarrow b^{6} + 3 a^{2} b^{4} + 3 a^{4} b^{2} + a^{6} = 5 \Leftrightarrow {(a^{2} + b^{2})}^{3} = 5$

$\Rightarrow a^{2} + b^{2} = \sqrt[3]{5}$

Vậy $M = \sqrt[3]{5}$ .

Câu 9:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 2 x + 3 y = x y + 5 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y + 1} = 1 \end{cases}$ .

Xem đáp án

Giải chi tiết

Điều kiện xác định: $x \neq 0$ và $y \neq - 1$ .

$\{\begin{cases} 2 x + 3 y = x y + 5 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y + 1} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x + 3 y = x y + 5 \\ y + 1 + x = x (y + 1) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x y = 2 x + 3 y - 5 (1) \\ x y = y + 1 (2) \end{cases}$

Trừ từng vế của hai phương trình ta có: $2 x + 2 y - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 3 - y$

Thay $x = 3 - y$ vào phương trình (2) ta được:

$(3 - y) y = y + 1 \Leftrightarrow y^{2} - 2 y + 1 = 0 \Leftrightarrow {(y - 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow y = 1$

$\Rightarrow x = 2$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(2; 1)$ .

Câu 10:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 2 x + y = x^{2} \\ 2 y + x = y^{2} \end{cases}$ .

Xem đáp án

Hệ phương trình đối xứng loại II, trừ từng vế của hai phương trình ta được

$(x - y) (x + y - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = y \\ x = 1 - y \end{array}$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(0; 0), (3; 3), (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}; \frac{1 - \sqrt{5}}{2}), (\frac{1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{1 + \sqrt{5}}{2})$ .

Câu 11:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{3} = 2 y + x \\ y^{3} = 2 x + y \end{cases}$ .

Xem đáp án

Hệ phương trình đối xứng loại II, trừ từng vế của hai phương trình ta được

$(x - y) (x^{2} + x y + y^{2} + 1) = 0 \Leftrightarrow x = y$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(0; 0), (\sqrt{3}; \sqrt{3}), (- \sqrt{3}; - \sqrt{3})$ .

Câu 12:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x y + x + y = 3 \\ x^{2} y + x y^{2} = 2 \end{cases}$ .

Xem đáp án

Hệ phương trình đối xứng loại I.

Đặt $S = x + y; P = x y$ (điều kiện: $S^{2} \geq 4 P$ ), ta được

$\{\begin{cases} P + S = 3 \\ S . P = 2 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} S = 1; P = 2 \\ S = 2; P = 1 \end{array}$

Kết hợp điều kiện $\Rightarrow S = 2; P = 1$ .

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(1; 1)$ .

Câu 13:

Giải hệ phương trình

\{\begin{cases} 3 x^{2} + 8 y^{2} + 12 x y = 23 \\ x^{2} + y^{2} = 2 \end{cases}

.

Xem đáp án

Cộng từng vế của hai phương trình ta được:

$4 x^{2} + 9 y^{2} + 12 x y = 25 \Leftrightarrow {(2 x + 3 y)}^{2} = 25 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 5 \\ 2 x + 3 y = - 5 \end{array}$

Với $2 x + 3 y = 5 \Leftrightarrow y = \frac{5 - 2 x}{3}$ thay vào $x^{2} + y^{2} = 2$ ta được $[\begin{array}{l} x = 1; y = 1 \\ x = \frac{7}{13}; y = \frac{17}{3} \end{array}$ .

Với $2 x + 3 y = - 5 \Leftrightarrow y = \frac{- 5 - 2 x}{3}$ thay vào $x^{2} + y^{2} = 2$ ta được $[\begin{array}{l} x = - 1; y = - 1 \\ x = - \frac{7}{13}; y = - \frac{17}{3} \end{array}$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(1; 1), (- 1; - 1), (\frac{7}{13}; \frac{17}{3}), (- \frac{7}{13}; - \frac{17}{3})$ .

Câu 14:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{2} + 4 y^{2} = 5 \\ (x + 2 y) (5 + 4 x y) = 27 \end{cases}$ .

Xem đáp án

$\{\begin{cases} x^{2} + 4 y^{2} = 5 \\ (x + 2 y) (5 + 4 x y) = 27 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + {(2 y)}^{2} = 5 \\ (x + 2 y) (5 + 2. x .2 y) = 27 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(x + 2 y)}^{2} - 2 (2 x y) = 5 \\ (x + 2 y) (5 + 2.2 x y) = 27 \end{cases}$

Đặt $a = x + 2; b = 2 x y$ (điều kiện: $a^{2} \geq 4 b$ ) ta được

$\{\begin{cases} a^{2} - 2 b = 5 \\ a (5 + 2 b) = 27 \end{cases} \Leftrightarrow a = 3; b = 2$ .

x và 2y là nghiệm của hai phương trình bậc hai: $X^{2} - 3 X + 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} X = 1 \\ X = 2 \end{array}$ .

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(1; 1), (2; \frac{1}{2})$ .

Câu 15:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{2} + \frac{1}{y^{2}} + \frac{x}{y} = 27 \\ x + \frac{1}{y} + \frac{x}{y} = 15 \end{cases}$ .

Xem đáp án

Ta có: $x^{2} + \frac{1}{y^{2}} + \frac{x}{y} = 27 \Leftrightarrow {(x + \frac{1}{y})}^{2} - \frac{x}{y} = 27$

Điều kiện: $y \neq 0$

Đặt $a = x + \frac{1}{y}, b = \frac{x}{y}$ (điều kiện: $a^{2} \geq 4 b$ ) ta được $\{\begin{cases} a^{2} - b = 27 \\ a + b = 15 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 6; b = 9 \\ a = - 7; b = 22 \end{array}$ .

Kết hợp điều kiện $\Rightarrow a = 6; b = 9$ .

x và $\frac{1}{y}$ là nghiệm của phương trình bậc hai: $X^{2} - 6 X + 9 = 0 \Leftrightarrow X = 3$ .

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(3; \frac{1}{3})$ .

Câu 16:

Giải hệ phương trình

\{\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6} \\ x^{2} y + x y^{2} = 30 \end{cases}

.

Xem đáp án

Điều kiện: $x \neq 0; y \neq 0$ .

$\{\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6} \\ x^{2} y + x y^{2} = 30 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 6 (x + y) = 5 x y \\ x y (x + y) = 30 \end{cases}$

Đặt $S = x + y; P = x y$ (điều kiện: $S^{2} \geq 4 P$ ) ta được

$\{\begin{cases} 6 S = 5 P \\ S . P = 30 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} S = 5; P = 6 \\ S = - 5; P = - 6 \end{array}$ (thỏa mãn điều kiện).

Với $S = 5; P = 6 \Rightarrow [\begin{array}{l} x = 2; y = 3 \\ x = 3; y = 2 \end{array}$

Với $S = - 5; P = - 6 \Rightarrow [\begin{array}{l} x = 1; y = - 6 \\ x = - 6; y = 1 \end{array}$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(2; 3), (3; 2), (1; - 6), (- 6; 1)$ .

Câu 17:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} \sqrt{\frac{2 x - 3}{y + 5}} + \sqrt{\frac{y + 5}{2 x - 3}} = 2 \\ 3 x + 2 y = 19 \end{cases}$ (với $x > \frac{3}{2}; y > - 5$ ).

Xem đáp án

Đặt $t = \sqrt{\frac{2 x - 3}{y + 5}} (t > 0)$ .

Ta có phương trình: $t + \frac{1}{t} = 2 \Leftrightarrow {(t - 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow \frac{2 x - 3}{y + 5} = 1 \Leftrightarrow 2 x - y = 8$

Ta có hệ: $\{\begin{cases} 2 x - y = 8 \\ 3 x + 2 y = 19 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 5 \\ y = 2 \end{cases}$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(5; 2)$ .

Câu 18:

Giải hệ phương trình

\{\begin{cases} \frac{x^{2}}{y} + x = 2 \\ \frac{y^{2}}{x} + y = \frac{1}{2} \end{cases}

.

Xem đáp án

Điều kiện xác định: $x \neq 0$ và $y \neq 0$

Đặt $x = k y$ (điều kiện: $k \neq 0$ )

Ta có hệ: $\{\begin{cases} \frac{k^{2} y^{2}}{y} + k y = 2 \\ \frac{y^{2}}{k y} + y = \frac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} k^{2} y + k y = 2 \\ \frac{y^{2}}{k y} + y = \frac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} k y (k + 1) = 2 \\ \frac{y}{k} (1 + k) = \frac{1}{2} \end{cases}$

Nếu $k + 1 = 0 \Leftrightarrow k = - 1$ thì hệ vô nghiệm.

Nếu $k + 1 \neq 0 \Leftrightarrow k \neq - 1$ , chia theo vế của hai phương trình ta được: $k^{2} = 4 \Leftrightarrow k = \pm 2$ .

Với $k = 2 \Rightarrow (2^{2} + 2) y = 2 \Leftrightarrow y = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{2}{3}$

Với $k = - 2 \Rightarrow [{(- 2)}^{2} - 2] y = 2 \Leftrightarrow y = 1 \Rightarrow x = - 2$ .

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(\frac{2}{3}; \frac{1}{3}), (- 2; 1)$ .

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 4: Hệ phương trình có đáp án

Chủ đề 2: Một số hệ phương trình quy về hệ bậc nhất có đáp án

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương