Cho tam giác $ABC$ có hai đường cao BD và $CE$ cắt nhau tại $H$.

a) Chứng minh rằng bốn điểm A, D, H , cùng nằm trên một đường tròn (gọi tâm của nó là O ).

b) Gọi M là trung điểm của $BC$. Chứng minh rằng ME là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Phân tích đề bài

a) Thấy ngay hai tam giác AEH và ADH là hai tam giác vuông có chung cạnh huyền nên bốn điểm A, D, H, E cùng nằm trên đường tròn đường kính AH.

b) EM là tiếp tuyến của (O)

                     $\Updownarrow$

              $\widehat{OEM}=90°$

                     $\Updownarrow$

             $\widehat{AEO}=\widehat{CEM}$

                     $\Updownarrow$

              $\widehat{EAO}=\widehat{ECB}$

Giải chi tiết

a) Gọi O là trung điểm của AH.

Theo giả thiết $\Delta AEH$ và $\Delta ADH$ là các tam giác vuông có chung cạnh huyển AH nên bốn điểm A, D, H, E cùng nằm trên đường tròn (O) đường kính AH.

b) Xét tam giác OAE có OE = OA nên $\Delta OAE$ cân tại O $\Rightarrow \widehat{OAE}=\widehat{OEA}$.              (1)

Tương tự $\Delta MEC$ cân tại M nên $\widehat{MEC}=\widehat{MCE}$.                                                        (2)

Gọi $F=AH\cap BC\Rightarrow AF\perp BC$.

Lại có: $\widehat{ECB}=\widehat{BAF}$ (vì cùng phụ với $\widehat{ABF}$).                                                            (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat{MEC}=\widehat{AEO}$.

Ta có: $\widehat{OEM}=\widehat{OEH}+\widehat{HEM}=\widehat{OEH}+\widehat{AEO}=\widehat{AEH}=90°$.

Vậy ME là tiếp tuyến của đường tròn (O).