Cho hai đường tròn $\left(O_1;R_1\right),\left(O_1;R_2\right)$ cắt nhau tại H và K, đường thẳng $O_{1}H$ cắt $\left(O_1\right)$ tại A, cắt $\left(O_2\right)$ tại B, $O_{2}H$ cắt $\left(O_1\right)$ tại C, cắt $\left(O_2\right)$ tại D. Chứng minh ba đường thẳng AC, BD, HK đồng quy tại một điểm.

Giải chi tiết

Gọi giao điểm của AC với BD là E. Các tam giác ACH, AKH nội tiếp đường tròn $\left(O_1\right)$ có cạnh HA là đường kính nên $\Delta ACH$ vuông tại C, $\Delta AHK$ vuông tại K.

Suy ra: $\left\{\begin{array}{l}DC\perp AE\left(1\right)\\ HK\perp AK\left(2\right)\end{array}\right.$

Lại có tam giác HDK và HDB nội tiếp đường tròn $\left(O_2\right)$ có cạnh HD là đường kính nên $\Delta HKD$ vuông tại K, $\Delta HBD$ vuông tại B.

Suy ra: $\left\{\begin{array}{l}HK\perp KD\left(3\right)\\ AB\perp DE\left(4\right)\end{array}\right.$

Từ (2) và (3) suy ra A, K, D thẳng hàng nên $HK\perp AD$                          (5)

Từ (1) và (4) suy ra H là trực tâm của $\Delta AED$, do đó $EH\perp AD$             (6)

Từ (5) và (6) suy ra $H\in EK$ (vì qua H ở ngoài đường thẳng AD chỉ kẻ được một đường thẳng vuông góc với AD).

Vậy AC, BD, HK đồng quy tại E là giao điểm của AC và BD.