Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Kẻ đường cao AH.

a) Chứng minh: DABC đồng dạng với DHBA.

b) Chứng minh: AH² = HB . HC.

c) Tính độ dài các cạnh BC, AH.

d) Phân giác của góc ACB cắt AH tại E, cắt AB tại D. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ACD và HCE.

a) Xét DABC và DHBA có:

$\widehat{BAC}=\widehat{AHB}={90}^o$ 

 chung

Do đó DABC  DHBA (g.g).

b) Chứng minh: AH² = HB . HC.

Xét DABH và DCAH có:

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}={90}^o$ (vì $AH\perp BC$).

$\widehat{BAH}=\widehat{ACH}$ (cùng phụ $\widehat{CAH}$).

Do đó DABH DCAH (g.g).

c) Áp dụng định lý Py-ta-go vào DABC vuông tại A, ta có:

$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$ (cm).

Từ câu a: DABC  DHBA nên: $\frac{AC}{HA}=\frac{BC}{BA}$.

Suy ra: $HB=\frac{A{B}^2}{BC}=\frac{6^2}{10}=\mathrm{3,6}$ (cm).

Vậy BC = 10 cm; AH = 4,8 cm.

d) Từ câu a: DABC  DHBA nên: $\frac{AB}{HB}=\frac{BC}{BA}$.

Suy ra: $\widehat{CAD}=\widehat{AHC}={90}^o$ (cm).

Do đó: HC = BC – HB = 10 – 3,6 = 6,4 (cm).

Xét DACD và DHCE có:

$\widehat{CAD}=\widehat{AHC}={90}^o$

${\widehat{C}}_1={\widehat{C}}_2$ (vì CD là tia phân giác của $\widehat{ACB}$)

Do đó DACD 

Suy ra $\frac{S_{ACD}}{S_{HCE}}={\left(\frac{AC}{HC}\right)}^2={\left(\frac{8}{\mathrm{6,4}}\right)}^2=\frac{25}{16}$.