Giải bởi qa.haylamdo.com
Giải
Đặt độ dài ba cạnh tam giác là a, b, c. Độ dài ba đường cao tương ứng là \[{h_a};{h_b};{h_c}\]. Theo đề bài ta có : \[\frac{{{h_a} + {h_b}}}{7} = \frac{{{h_b} + {h_c}}}{6} = \frac{{{h_c} + {h_a}}}{5}\] và \[a{h_a} = b{h_b} = c{h_c}\left( 1 \right)\]
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
\[\frac{{{h_a} + {h_b}}}{7} = \frac{{{h_b} + {h_c}}}{6} = \frac{{{h_c} + {h_a}}}{5} = \frac{{{h_a} + {h_b} - {h_b} - {h_c}}}{{7 - 6}} = {h_a} - {h_c}\]
\[ \Rightarrow {h_c} + {h_a} = 5{h_a} - 5{h_c} \Rightarrow 2{h_a} = 3{h_c} \Rightarrow \frac{{{h_a}}}{3} = \frac{{{h_c}}}{2}\left( 2 \right)\]
Mặt khác \[\frac{{{h_a} + {h_b}}}{7} = \frac{{{h_b} + {h_c}}}{6} \Rightarrow \frac{{2{h_a} + 2{h_b}}}{{14}} = \frac{{{h_b} + {h_c}}}{6} \Rightarrow \frac{{3{h_c} + 2{h_b}}}{{14}} = \frac{{{h_b} + {h_c}}}{6}\]
\[ \Rightarrow 3\left( {3{h_c} + 2{h_b}} \right) = 7\left( {{h_b} + {h_c}} \right) \Rightarrow 9{h_c} + 6{h_b} = 7{h_b} + 7{h_c} \Rightarrow 2{h_c} = {h_b} \Rightarrow \frac{{{h_c}}}{2} = \frac{{{h_b}}}{4}\left( 3 \right)\]
Từ (2),(3) suy ra : \[\frac{{{h_a}}}{3} = \frac{{{h_b}}}{4} = \frac{{{h_c}}}{2}\]
Đặt \[\frac{{{h_a}}}{3} = \frac{{{h_b}}}{4} = \frac{{{h_c}}}{2} = k\left( {k > 0} \right) \Rightarrow {h_a} = 3k;{h_b} = 4k;{h_c} = 2k\]
Kết hợp với (1), ta có : \[3a = 4b = 2c \Rightarrow \frac{a}{4} = \frac{b}{3} = \frac{c}{6}\]
Vậy độ dài ba cạnh tỉ lệ với 4; 3; 6.
Cho a, b, c, d khác 0 ,thỏa mãn tỉ lệ thức \[\frac{{21a + 10b}}{{a - 11b}} = \frac{{21c + 10d}}{{c - 11d}}\]
Chứng minh rằng \[\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\]
Cho \[a + b + c = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\] và \[\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}\].
Chứng minh rằng:\[{\left( {x + y + z} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2}\]
Cho \[\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\]. Các số x, y, z, t thỏa mãn \[xa + yb \ne 0\] và \[zc + td \ne 0\]
Chứng minh \[\frac{{xa + yb}}{{za + tb}} = \frac{{xc + yd}}{{zc + td}}\]
Tìm x, y biết :
\[\frac{{1 + 3y}}{{12}} = \frac{{1 + 5y}}{{5x}} = \frac{{1 + 7y}}{{4x}}\]
Cho dãy tỉ số bằng nhau : \[\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}} = ... = \frac{{{a_{2019}}}}{{{a_{2020}}}} = \frac{{{a_{2020}}}}{{{a_1}}}\]
Tính giá trị biểu thức \[B = \frac{{{{\left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_{2020}}} \right)}^2}}}{{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2 + ... + {a_{2020}}^2}}\]
Cho a, b, c, d khác 0 và không đối nhau từng đôi một, thỏa mãn dãy tỷ số bằng nhau :
\[\frac{{2021a + b + c + d}}{a} = \frac{{a + 2021b + c + d}}{b} = \frac{{a + b + 2021c + d}}{c} = \frac{{a + b + c + 2021d}}{d}\]
Tính \[M = \frac{{a + b}}{{c + d}} + \frac{{b + c}}{{d + a}} + \frac{{c + d}}{{a + b}} + \frac{{d + a}}{{b + c}}\]
Tìm x, y biết :
\[\frac{{1 + 2y}}{{18}} = \frac{{1 + 4y}}{{24}} = \frac{{1 + 6y}}{{6x}};\]Với a, b, c, x, y, z khác 0 , biết \[\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{cx - az}}{b} = \frac{{ay - bx}}{c}\]
Chứng minh rằng : \[\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}\]
