Cho hai biểu thức $A=\frac{2x}{x-1}$  và $B=\frac{x}{x+2}-\frac{x^2+8}{x^2-4}+\frac{3}{x-2}$  với x ≠ 1; x ≠ ±2

a) Tính giá trị biểu thức A khi x = 3;

b) Rút gọn biểu thức B;

c) Tìm giá trị của x để A.B = 1.

a) Thay x = 3 (TMĐK) vào biểu thức $A=\frac{2x}{x-1}$ , ta được:

$A=\frac{2.3}{3-1}=\frac{2.3}{2}=3;$

Vậy khi x = 3 thì giá trị biểu thức A = 3.

b) Với điều kiện x ≠ ±2, ta có:

$$\begin{gathered} B=\frac{x}{x+2}-\frac{x^2+8}{x^2-4}+\frac{3}{x-2} \\ =\frac{x(x-2)}{(x+2)(x-2)}-\frac{x^2+8}{x^2-4}+\frac{3(x+2)}{(x-2)(x+2)} \\ =\frac{x^2-2x}{(x+2)(x-2)}-\frac{x^2+8}{(x+2)(x-2)}+\frac{3x+6}{(x+2)(x-2)} \\ =\frac{x^2-2x-(x^2+8)+3x+6}{(x+2)(x-2)} \\ =\frac{x^2-2x-x^2-8+3x+6}{(x+2)(x-2)} \\ =\frac{x-2}{(x-2)(x+2)} \end{gathered}$$

$=\frac{1}{x+2}$ (với x ≠ ±2)

c) Ta có: $A.B=\frac{2x}{x-1}.\frac{1}{x+2}=\frac{2x}{(x-1)(x-2)}$

Mà A.B = 1 nên $\frac{2x}{(x-1)(x-2)}=1$

Þ 2x = (x – 1)(x + 2) (vì x ≠ 1; x ≠ ±2)

Û 2x = x² + 2x – x – 2

Û 2x = x² + x – 2

Û x² + x – 2 – 2x = 0

Û x(x + 1) – 2 (1 + x) = 0

Û (x + 1)(x – 2) = 0

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{c}x+1=0\\ x-2=0\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{c}x=-1\\ x=2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Đối chiếu với điều kiện x ≠ 1; x ≠ ±2, ta thấy chỉ có x = – 1 thỏa mãn.

Vậy để A.B = 1 thì x = – 1.