Cho xy+z+yz+x+zx+y=1 . Chứng minh x2y+z+y2z+x+z2x+y=0 .

Phương pháp Nhân cả hai vế của đẳng thức bài cho với x+y+z≠0 . Cách giải: Choxy+z+yz+x+zx+y=1 . Chứng minh x2y+z+y2z+x+z2x+y=0 . Nhận xét: Nếu x+y+z=0⇒x+y=−zx+z=−yy+z=−x⇒xy+z+yz+x+zx+y=−3 . Suy ra x+y+z≠0 . Ta có:xy+z+yz+x+zx+y=1 ⇔x+y+zxy+z+yz+x+zx+y=x+y+z ⇔x2y+z+xyz+x+xzx+y+xyy+z+y2z+x+yzx+y+zxy+z+yzz+x+z2x+y=x+y+z ⇔x2y+z+y2z+x+z2x+y+x+yzx+y+y+zxy+z+z+xyz+x=x+y+z ⇔x2y+z+y2z+x+z2x+y+x+y+z=x+y+z ⇔x2y+z+y2z+x+z2x+y=0

Câu hỏi:

22/07/2024 89

Cho $\frac{x}{y + z} + \frac{y}{z + x} + \frac{z}{x + y} = 1$ . Chứng minh $\frac{x^{2}}{y + z} + \frac{y^{2}}{z + x} + \frac{z^{2}}{x + y} = 0$ .

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi qa.haylamdo.com

Phương pháp

Nhân cả hai vế của đẳng thức bài cho với $x + y + z \neq 0$ .

Cách giải:

Cho $\frac{x}{y + z} + \frac{y}{z + x} + \frac{z}{x + y} = 1$ . Chứng minh $\frac{x^{2}}{y + z} + \frac{y^{2}}{z + x} + \frac{z^{2}}{x + y} = 0$ .

Nhận xét: Nếu $x + y + z = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} x + y = - z \\ x + z = - y \\ y + z = - x \end{cases} \Rightarrow \frac{x}{y + z} + \frac{y}{z + x} + \frac{z}{x + y} = - 3$ .

Suy ra $x + y + z \neq 0$ .

Ta có: $\frac{x}{y + z} + \frac{y}{z + x} + \frac{z}{x + y} = 1$

$\Leftrightarrow (x + y + z) (\frac{x}{y + z} + \frac{y}{z + x} + \frac{z}{x + y}) = x + y + z$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{y + z} + \frac{x y}{z + x} + \frac{x z}{x + y} + \frac{x y}{y + z} + \frac{y^{2}}{z + x} + \frac{y z}{x + y} + \frac{z x}{y + z} + \frac{y z}{z + x} + \frac{z^{2}}{x + y} = x + y + z$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{y + z} + \frac{y^{2}}{z + x} + \frac{z^{2}}{x + y} + (x + y) \frac{z}{x + y} + (y + z) \frac{x}{y + z} + (z + x) \frac{y}{z + x} = x + y + z$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{y + z} + \frac{y^{2}}{z + x} + \frac{z^{2}}{x + y} + x + y + z = x + y + z$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{y + z} + \frac{y^{2}}{z + x} + \frac{z^{2}}{x + y} = 0$

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hình thang vuông ABCD, $\hat{A} = \hat{D} = 90 °$ có $C D = 2 A B = 2 A D$ . Kẻ BH vuông góc với CD.

Kẻ DI vuông góc với AC, DI, DM cắt AH lần lượt tại P và Q. Chứng minh $Δ A D P = Δ H D Q$ .

Xem đáp án » 19/10/2022 172

Câu 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A có $A B = 3 c m, B C = 5 c m$ . Tính diện tích tam giác ABC.

Xem đáp án » 19/10/2022 112

Câu 3:

Hình nào sau đây chưa chắc có trục đối xứng?

Xem đáp án » 19/10/2022 112

Câu 4:

Kết quả của phép tính $(a^{2} + 3 a + 9) (a - 3)$ là:

Xem đáp án » 19/10/2022 110

Câu 5:

Cho hình thang vuông ABCD, $\hat{A} = \hat{D} = 90 °$ có $C D = 2 A B = 2 A D$ . Kẻ BH vuông góc với CD.

Chứng minh rằng tứ giác ABHD là hình vuông.

Xem đáp án » 19/10/2022 107

Câu 6:

Phép chia $5 x^{n - 1} y^{4} : (2 x^{3} y^{n})$ là phép chia hết khi:

Xem đáp án » 19/10/2022 103

Câu 7:

Tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC, biết $M N = 10 c m$ , độ dài cạnh BC bằng:

Xem đáp án » 19/10/2022 93

Câu 8:

Biểu thức $\frac{3 x + 9}{6 x - 3} . \frac{1 - 2 x}{x + 3}$ có kết quả rút gọn là:

Xem đáp án » 19/10/2022 92

Câu 9:

Với $x = 5$ thì đa thức $10 x - 25 - x^{2}$ có giá trị bằng:

Xem đáp án » 19/10/2022 89

Câu 10:

Cho hình thang vuông ABCD, $\hat{A} = \hat{D} = 90 °$ có $C D = 2 A B = 2 A D$ . Kẻ BH vuông góc với CD.

Tứ giác BPDQ là hình gì?

Xem đáp án » 19/10/2022 86

Câu 11:

Tìm x biết:
$5 x (3 - x) + x (5 + 5 x) = 40$

Xem đáp án » 19/10/2022 85

Câu 12:

Cho hình thang vuông ABCD, $\hat{A} = \hat{D} = 90 °$ có $C D = 2 A B = 2 A D$ . Kẻ BH vuông góc với CD.

Gọi M là trung điểm của BH. Chứng minh A đối xứng với C qua M.

Xem đáp án » 19/10/2022 83

Câu 13:

Cho biểu thức $A = \frac{2 x}{x + 3} + \frac{2}{x - 3} + \frac{x^{2} - x + 6}{9 - x^{2}}$ với $x \neq \pm 3$ .

Tìm giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên.

Xem đáp án » 19/10/2022 81

Câu 14:

Tính hợp lí giá trị của biểu thức:

$2019^{2} - 2019.19 - 19^{2} - 19.1981$

Xem đáp án » 19/10/2022 78

Câu 15:

Tìm x biết:

${(x - 3)}^{2} - x + 3 = 0$

Xem đáp án » 19/10/2022 78

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

Trắc nghiệm Toán 8 Nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức có lời giải chi tiết

2 đề 9086 lượt thi Thi thử
Bài tập Nhân đơn thức với đa thức (có lời giải chi tiết)

2 đề 6030 lượt thi Thi thử
Tổng hợp bài tập Toán 8 Chương 3: Phương trình bậc nhất một ẩn

13 đề 5073 lượt thi Thi thử
Top 12 Đề kiểm tra Toán 8 Học Kì 2 Chương 3 Đại Số có đáp án, cực hay

16 đề 4962 lượt thi Thi thử
Bài tập Những hằng đẳng thức đáng nhớ (có lời giải chi tiết)

2 đề 3665 lượt thi Thi thử
Top 8 Đề kiểm tra Toán 8 Học Kì 1 Chương 1 Hình học có đáp án, cực hay

9 đề 3565 lượt thi Thi thử
Đề thi Toán lớp 8 Giữa học kì 2 năm 2020 - 2021 có đáp án

10 đề 3539 lượt thi Thi thử
Top 8 Đề kiểm tra Toán 8 Học Kì 2 Chương 4 Đại Số có đáp án, cực hay

11 đề 2816 lượt thi Thi thử
Top 8 Đề kiểm tra Đại Số Toán 8 Học Kì 1 Chương 2 có đáp án, cực hay

9 đề 2795 lượt thi Thi thử
Top 11 Đề kiểm tra Đại số Toán 8 Học Kì 1 Chương 1 có đáp án, cực hay

6 đề 2761 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »

3) Tính số đo các góc của $Δ D M N$ .

211 19/10/2022 Xem đáp án
2) Chứng minh: $Δ A M D = Δ B N D$ .

215 19/10/2022 Xem đáp án
Cho hình thoi ABCD có AB = BD. Gọi M, N lần lượt trên các cạnh AB, BC sao cho AM + NC = AD.

1) Chứng minh: AM = BN.

246 19/10/2022 Xem đáp án
3) Tổng độ dài (DM + DN) không đổi.

164 19/10/2022 Xem đáp án
2) $Δ A B M = Δ D B N$

176 19/10/2022 Xem đáp án
Cho hình thoi ABCD có $\hat{A} = 60 °$ . Một góc xBy thay đổi sao cho tia Bx cắt cạnh AD tại M, tia By cắt cạnh CD tại N và $\hat{x B y} = 60 °$ . Chứng minh :

1) AB = BD.

235 19/10/2022 Xem đáp án
4) Tính diện tích hình thoi ABCD.

169 19/10/2022 Xem đáp án
3) Biết chu vi của hình thoi ABCD là 8cm . Tính độ dài đường chéo BD ; AC.

170 19/10/2022 Xem đáp án
2) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh: $O A^{2} = \frac{3}{4} A B^{2}$ .

171 19/10/2022 Xem đáp án
Cho hình thoi ABCD có AB = BD.

1) Chứng minh: Tam giác ABD đều.

164 19/10/2022 Xem đáp án

Xem thêm »

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Câu hỏi:

Cho xy+z+yz+x+zx+y=1 . Chứng minh x2y+z+y2z+x+z2x+y=0 .

Trả lời:

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hình thang vuông ABCD, A^=D^=90°có CD=2AB=2AD . Kẻ BH vuông góc với CD. Kẻ DI vuông góc với AC, DI, DM cắt AH lần lượt tại P và Q. Chứng minh ΔADP=ΔHDQ .

Câu 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=3cm, BC=5cm. Tính diện tích tam giác ABC.

Câu 3:

Hình nào sau đây chưa chắc có trục đối xứng?

Câu 4:

Kết quả của phép tính a2+3a+9a−3 là:

Câu 5:

Cho hình thang vuông ABCD, A^=D^=90°có CD=2AB=2AD. Kẻ BH vuông góc với CD. Chứng minh rằng tứ giác ABHD là hình vuông.

Câu 6:

Phép chia 5xn−1y4:2x3yn là phép chia hết khi:

Câu 7:

Cho $\frac{x}{y + z} + \frac{y}{z + x} + \frac{z}{x + y} = 1$ . Chứng minh $\frac{x^{2}}{y + z} + \frac{y^{2}}{z + x} + \frac{z^{2}}{x + y} = 0$ .

Cho hình thang vuông ABCD, $\hat{A} = \hat{D} = 90 °$ có $C D = 2 A B = 2 A D$ . Kẻ BH vuông góc với CD.

Kẻ DI vuông góc với AC, DI, DM cắt AH lần lượt tại P và Q. Chứng minh $Δ A D P = Δ H D Q$ .

Cho tam giác ABC vuông tại A có $A B = 3 c m, B C = 5 c m$ . Tính diện tích tam giác ABC.

Kết quả của phép tính $(a^{2} + 3 a + 9) (a - 3)$ là:

Cho hình thang vuông ABCD, $\hat{A} = \hat{D} = 90 °$ có $C D = 2 A B = 2 A D$ . Kẻ BH vuông góc với CD.

Chứng minh rằng tứ giác ABHD là hình vuông.

Phép chia $5 x^{n - 1} y^{4} : (2 x^{3} y^{n})$ là phép chia hết khi: