Chứng minh rằng trong một tứ giác tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác.

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD.

Gọi độ dài các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt là a, b, c, d.

Vận dụng bất đẳng thức tam giác ta được: $OA+OB>a;OC+OD>c$

Do đó $\left(OA+OC\right)+\left(OB+OD\right)>a+c$ hay $AC+BD>a+c$(1)

Chứng minh tương tự, ta được: $AC+BD>d+b$(2)

Cộng từng vế của (1) và (2), ta được:

$2\left(AC+BD\right)>a+b+c+d\Rightarrow AC+BD>\frac{a+b+c+d}{2}$

Xét các $\Delta ABC$ và $\Delta ADC$ ta có: $AC<a+b;AC<c+d$

$\Rightarrow 2AC<a+b+c+d$ (3)

Tương tự có: $2BD<a+b+c+d$(4)

Cộng từng vế của (3) và (4) được: $2\left(AC+BD\right)<2\left(a+b+c+d\right)$

$\Rightarrow AC+BD<a+b+c+d$

Từ các kết quả trên ta được điều phải chứng minh.