Cho tứ giác ABCD có độ dài các cạnh là a , b , c , d  đều là các số tự nhiên. Biết tổng  S = a + b + c + d chia hết cho a , cho b , cho c , cho d . Chứng minh rằng tồn tại hai cạnh của tứ giác bằng nhau.

Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng.

Giả sử không có hai cạnh nào của tứ giác bằng nhau.

Ta có thể giả sử $a<b<c<d$ .

Ta có: $a+b+c>BD+c>d$

Do đó a + b + c + d > 2d . Ta đặt a + b + c + d = S  thì S > 2d. (*)

Ta có:

$S⋮a\Rightarrow S=ma\left(m\in N\right)$ (1)

$S⋮b\Rightarrow S=nb\left(n\in N\right)$ (2)

$S⋮c\Rightarrow S=pc\left(p\in N\right)$ (3)

$S⋮d\Rightarrow S=qd\left(q\in N\right)$ (4)

Từ (4) và (*) => qd > 2d do đó q > 2

Vì a < b < c < d nên từ (1), (2), (3), (4) suy ra $m>n>p>q>2$

Do đó $q\ge 3;p\ge 4;n\ge 5;m\ge 6$

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra $\frac{1}{m}=\frac{a}{S};\frac{1}{n}=\frac{b}{S};\frac{1}{p}=\frac{c}{S};\frac{1}{q}=\frac{d}{S}$

Ta có: $\frac{1}{6}+\frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}\ge \frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{a+b+c+d}{S}=1$

Từ đó: $\frac{19}{20}\ge 1$; vô lí.

Vậy điều giả sử là sai, suy ra tồn tại hai cạnh của tứ giác bằng nhau.