Một đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác ABC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng:

$\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=3;$

* Tìm cách giải. Để tạo ra tỉ số $\frac{AB}{AM};\frac{AC}{AN}$ chúng ta cần vận dụng định lý Ta-let, mà hình vẽ chưa có yếu tố song song do vậy chúng ta cần kẻ thêm yếu tố song song. Kẻ đường thẳng song song với MN từ B và C vừa khai thác được yếu tố trọng tâm, vừa tạo ra được tỉ số yêu cầu.

* Trình bày lời giải

Trường hợp 1. Nếu MN // BC, thì lời giải giản đơn (dành cho bạn đọc).

Trường hợp 2. Xét MN không song song với BC.

Gọi giao điểm của AG và BC là D  $\Rightarrow BD=CD.$

Kẻ BI // CK // MN  $\left(I,K\in AD\right)$

Xét $\Delta BDI$  và $\Delta CDK$  có $BD=CD;\widehat{IBD}=\widehat{KCD};\widehat{IDB}=\widehat{KDC}$  nên  $\Delta BDI=\Delta CDK\left(g.cg\right)$

 $\Rightarrow DI=DK.$

Áp dụng định lý Ta-lét, ta có $\frac{AB}{AM}=\frac{AI}{AG}$  (vì MG // BI);

$\frac{AC}{AN}=\frac{AK}{AG}$ (vì GN // CK).

Suy ra    $\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=\frac{2.AD}{AG}=3$        (1) (vì $AD=\frac{3}{2}.AG$ ).