Cho ABCD là hình bình hành có tâm O. Gọi M, N là trung điểm BO; AO. Lấy F trên cạnh AB sao cho FM cắt cạnh BC tại E và tia FN cắt cạnh AD tại K. Chứng minh rằng:$BE+AK\ge BC.$

* Tìm cách giải.

Với phân tích và suy luận như câu a, ví dụ 4 thì câu a, ví dụ này không quá khó.

Tương tự câu a, chúng ta có kết quả:  $\frac{AD}{AK}+\frac{AB}{AF}=4$và suy ra $\frac{AD}{AK}+\frac{AB}{AF}+\frac{AB}{BF}+\frac{BC}{BE}=8$  để liên kết được BE + AK với nhau, mà với suy luận trên thì BE, AK cùng nằm ở mẫu số, do đó chúng ta liên tưởng tới bất đẳng thức đại số $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}$  sẽ cho chúng ta yêu cầu. Với suy luận đó, chúng ta có lời giải sau:

* Trình bày lời giải

Tương tự ta có:

 $\frac{AD}{AK}+\frac{AB}{AF}=4\Rightarrow \frac{AD}{AK}+\frac{AB}{AF}+\frac{AB}{BF}+\frac{BC}{BE}=8$

 $\Rightarrow BC.\left(\frac{1}{AK}+\frac{1}{BE}\right)+AB\left(\frac{1}{AF}+\frac{1}{BF}\right)=8$    (1)

Áp dụng bất đẳng thức  $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}$ (với $x;y>0$ )

Ta có: $\frac{1}{AF}+\frac{1}{BF}\ge \frac{4}{AF+BF}=\frac{4}{AB}\Rightarrow AB\left(\frac{1}{AF}+\frac{1}{BF}\right)\ge 4$   (2)

Từ (1) và (2) suy ra:  $BC.\left(\frac{1}{AK}+\frac{1}{BE}\right)\le 4$

Mà  $\frac{1}{AK}+\frac{1}{BE}\ge \frac{4}{AK+BE}\Rightarrow BC\left(\frac{1}{AK}+\frac{1}{BE}\right)\ge \frac{4BC}{AK+BE}$

 $\Rightarrow \frac{4BC}{AK+BE}\le 4\Rightarrow AK+BE\ge BC.$