Cho ABCD là hình bình hành có tâm O. Gọi M, N là trung điểm BO; AO. Lấy F trên cạnh AB sao cho FM cắt cạnh BC tại E và tia FN cắt cạnh AD tại K. Chứng minh rằng:$\frac{BA}{BF}+\frac{BC}{BE}=4;$

* Tìm cách giải.

Với phân tích và suy luận như câu a, ví dụ 4 thì câu a, ví dụ này không quá khó.

Tương tự câu a, chúng ta có kết quả:  $\frac{AD}{AK}+\frac{AB}{AF}=4$và suy ra $\frac{AD}{AK}+\frac{AB}{AF}+\frac{AB}{BF}+\frac{BC}{BE}=8$  để liên kết được BE + AK với nhau, mà với suy luận trên thì BE, AK cùng nằm ở mẫu số, do đó chúng ta liên tưởng tới bất đẳng thức đại số $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}$  sẽ cho chúng ta yêu cầu. Với suy luận đó, chúng ta có lời giải sau:

* Trình bày lời giải

Kẻ CI //AH // EF (với $I,H\in BD$ )

Xét $\Delta AOH$ và $\Delta COI$  có $\widehat{AOH}=\widehat{COI}$  (đối đỉnh); OA = OB; $\widehat{HAO}=\widehat{ICO}$  (so le trong)

$\Rightarrow \Delta AOH=\Delta COI$(c.g.c) . Áp dụng định lý Ta-lét, ta có: $\frac{BA}{BF}+\frac{BC}{BE}=\frac{BH}{BM}+\frac{BI}{BM}=\frac{BH+BI}{BM}=\frac{BO+OH+BO-OI}{BM}=\frac{2.BO}{BM}=4.$