Một đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác ABC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng:$\frac{BM}{AM}+\frac{CN}{AN}=1.$

* Tìm cách giải. Để tạo ra tỉ số $\frac{AB}{AM};\frac{AC}{AN}$ chúng ta cần vận dụng định lý Ta-let, mà hình vẽ chưa có yếu tố song song do vậy chúng ta cần kẻ thêm yếu tố song song. Kẻ đường thẳng song song với MN từ B và C vừa khai thác được yếu tố trọng tâm, vừa tạo ra được tỉ số yêu cầu.

* Trình bày lời giải

Trường hợp 1. Nếu MN // BC, thì lời giải giản đơn (dành cho bạn đọc).

Trường hợp 2. Xét MN không song song với BC.

Xét  $\frac{BM}{AM}=\frac{GI}{AG};\frac{CN}{AN}=\frac{KG}{AG}$

hay $\frac{BM}{AM}+\frac{CN}{AN}=\frac{GI+GK}{AG}=\frac{2.GD}{AG}=1,$  suy ra  $\frac{BM}{AM}+\frac{CN}{AN}=1.$

Nhận xét. Từ kết quả (1), chúng ta thấy rằng bởi G là trọng tâm nên $\frac{2AD}{AG}=3$  . Vậy nếu G không phải là trọng tâm thì ta có bài toán sau:

 - Một đường bất kỳ cắt cạnh AB, AC và đường trung tuyến AD của tam giác ABC lần lượt tại M, N và G. Chứng minh rằng:  $\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=2.\frac{AD}{AG}.$

- Nếu thay yếu tố trung tuyến bằng hình bình hành, ta có bài toán sau: Cho hình bình hành ABCD. Một đường thẳng bất kỳ cắt AB, AD và AC lần lượt tại M, N và G. Chứng minh rằng:  $\frac{AB}{AM}+\frac{AD}{AN}=\frac{AC}{AG}.$