Cho phương trình $x^2+\left(2m-1\right)x+m^2-m=0\left(1\right)$ (m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt . Tìm hai nghiệm đó khi m = 2

b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho $x_1\left(1-2x_2\right)+x_2\left(1-2x_1\right)=m^2$ (Với $x_1;x_2$ là hai nghiệm phương trình)

c) Với $x_1;x_2$ là hai nghiệm phương trình (1). Chứng minh rằng , với mọi giá trị của m ta luôn có $x_1-2x_1{x}_2+x_2\le 1$

a) $x^2+\left(2m-1\right)x+m^2-m=0$

$\Delta ={\left(2m-1\right)}^2-4\left(m^2-m\right)=4m^2-4m+1-4m^2+4m=1>0$

Nên phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m

 m = 2 phương trình thành: $x^2+3x+2=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=-2\end{array}\right.$

b) Áp dụng hệ thức Vi et ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=1-2m\\ x_1{x}_2=m^2-m\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}{x}_1\left(1-2x_2\right)+x_2\left(1-2x_1\right)=m^2\\ \iff x_1-2x_1{x}_2+x_2-2x_1{x}_2=m^2\\ \iff \left(x_1+x_2\right)-4x_1{x}_2=m^2\\ hay1-2m-4\left(m^2-m\right)=m^2\\ \iff 5m^2-2m-1=0\iff m=\frac{1\pm \sqrt{6}}{5}\end{array}$

c) Ta có:

 $\begin{array}{l}{x}_1+x_2-2x_1{x}_2\le 1\\ hay\left(1-2m\right)-2\left(m^2-m\right)\le 1\\ \iff 1-2m-2m^2+2m\le 1\\ \iff -2m^2\le 0\left(luondung\right)\end{array}$

Vậy $x_1+x_2-2x_1{x}_2\le 1$(với mọi m)