Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên cạnh AB lấy điểm E tùy ý sao cho AE = x với 0 < x < a. Qua A kẻ đường thẳng d vuông góc với CE, đường thẳng d cắt hai đường thẳng CE và CB lần lượt tại M và N

a) Chứng minh MNBE là tứ giác nội tiếp

b) Tính số đo $\widehat{BMN}$

c) Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác MNBE theo a và x

a) $\widehat{NME}+\widehat{NBE}={90}^0+{90}^0={180}^0\Rightarrow MNBE$ là tứ giác nội tiếp

b) Xét $\Delta ABN$ và $\Delta CBE$ có $\widehat{ABN}=\widehat{CBE}={90}^0;AB=AC\left(gt\right);\widehat{NAB}=\widehat{ECB}$ (cùng phụ $\widehat{ANB}$)

$\Rightarrow \Delta ABN=\Delta CBE\left(gcg\right)\Rightarrow BE=BN=a-x$

$\Rightarrow \Delta EBN$ vuông cân tại B $\Rightarrow \widehat{BEN}={45}^0$

Mà $\widehat{BEN}=\widehat{BMN}={45}^0$ (cùng nhìn cạnh BN) $\Rightarrow \widehat{BMN}={45}^0$

c) Vì $\widehat{EMN}=\widehat{EBN}={90}^0$ suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp MNBE là trung điểm I của EN $\Rightarrow R=\frac{EN}{2}$

$\Delta EBN\text{}$ vuông cân tại B $\Rightarrow EN=BE\sqrt{2}=\left(a-x\right)\sqrt{2}\Rightarrow R=\frac{\left(a-x\right)\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow S_{\left(O\right)}=\pi R^2=\pi {\left(\frac{\left(a-x\right)\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{\pi {\left(a-x\right)}^2}{2}$