b) Tính độ dài đường cao AH và đường phân giác AD của tam giác ABC.

b) Từ hệ thức $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}$ ta tính được $AH=\mathrm{7,2}cm.$

Theo tính chất đường phân giác:

$\frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}=\frac{BD+DC}{AB+AC}=\frac{BC}{AB+AC}=\frac{15}{12+9}=\frac{5}{7}\Rightarrow BD=\frac{45}{7}cm.$

Lại có $A{B}^2=BC.BH$ nên $BH=\frac{A{B}^2}{BC}=\mathrm{5,4}cm.$

Nhận xét thấy $BD>BH$ nên H nằm giữa B và D. Từ đó, ta có: $HD=BD-BH=\frac{36}{35}$.

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông AHD ta có:

$A{D}^2=A{H}^2+H{D}^2={\mathrm{7,2}}^2+{\mathrm{1,03}}^2=\mathrm{52,9009}\Rightarrow AD\approx \mathrm{7,27}cm.$

Vậy $AH=\mathrm{7,2}cm,AD\approx \mathrm{7,27}cm.$