c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền là $h=\frac{2}{\sqrt{5}}$

c) Phương trình (1) có $\Delta ={\left(m+2\right)}^2-4\left(m+1\right)=m^2+4m+4-4m-4=m^2$ 

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thì $\Delta >0\iff m\ne 0$

Khi đó, áp dụng định lý Viet ta có : $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-b}{a}=m+2\\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}=m+1\end{array}\right.$

Do hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ là độ dài hai cạnh góc vuông nên ta có $x_1,x_2>0$ suy ra : $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2>0\\ x_1{x}_2>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m+2>0\\ m+1>0\end{array}\right.\iff m>-1$

Vì $x_1,x_2$ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền $h=\frac{2}{\sqrt{5}}$ nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :

$\begin{array}{l}\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{1}{{\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}^2}\iff \frac{x_1^2+x_2^2}{x_1^2{x}_2^2}=\frac{5}{4}\iff \frac{{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2}{x_1^2{x}_2^2}=\frac{5}{4}\\ \iff 4.\left[{\left(m+2\right)}^2-2\left(m+1\right)\right]=5{\left(m+1\right)}^2\iff 4m^2+8m+8=5m^2+10m+5\\ \iff m^2+2m-3=0\end{array}$

Ta có : $a+b+c=1+2+\left(-3\right)=0$ nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

$\left[\begin{array}{l}{m}_1=1\left(tm\right)\\ m_2=\frac{c}{a}=-3\left(ktm\right)\end{array}\right.$

Vậy m = 1là giá trị cần tìm.