c) Đường thẳng qua O vuông góc OM với cắt các tia MC, MD lần lượt tại P và Q. Tính độ dài OM theo R sao cho diện tích tam giác MPQ nhỏ nhất

c) Ta có : MO là phân giác của $\angle PMQ$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

$MO$ là đường cao của $\Delta PMQ\left(doPQ\perp OM\left(gt\right)\right)$

$\Rightarrow \Delta MPQ$ cân tại M (tam giác có đường cao đồng thời là đường phân giác)

$\Rightarrow MO$ đồng thời là trung tuyến của $\Delta MPQ\Rightarrow O$ là trung điểm của $PQ$

$\Rightarrow OP=\frac{1}{2}PQ$ . Ta có : $S_{\Delta MPQ}=\frac{1}{2}.MO.PQ=OM.OP$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác OMP vuông tại O có đường cao OC ta có :

$\frac{1}{O{M}^2}+\frac{1}{O{P}^2}=\frac{1}{O{C}^2}=\frac{1}{R^2}$

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương $\frac{1}{O{M}^2}$và $\frac{1}{O{P}^2}$ ta có :

$\frac{1}{O{M}^2}+\frac{1}{O{P}^2}\ge \frac{2}{OM.OP}=\frac{2}{S_{\Delta MPQ}}\Rightarrow \frac{1}{R^2}\ge \frac{2}{S_{MPQ}}\iff S_{\Delta MPQ}\ge 2R^2$

Dấu $"="$xảy ra $\iff \left\{\begin{array}{l}OM=OP\\ \frac{2}{O{M}^2}=\frac{1}{R^2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}OM=OP\\ OM=R\sqrt{2}\end{array}\right.$

Vậy $S_{\Delta MPQ}$đạt giá trị nhỏ nhất bằng $2R^2$ khi$OM=R\sqrt{2}$