c) Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. Vẽ hình bình hành MBNE . Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BE .  Chứng minh rằng OH vuông góc với đường thẳng (d) và $OH=\frac{1}{2}AB$

c) Tứ giác BMEN là hình bình hành có H là trung điểm BE nên H đồng thời là trung điểm của MN (tính chất hình bình hành)

Ta có : $OM=ON\Rightarrow \Delta OMN$ cân tại O

Lại có H là trung điểm của MN suy ra $OH\perp MN$ hay $OH\perp \left(d\right)$ (trong tam giác cân, đường trung tuyến đồng thời là đường cao)

Gọi Q là giao điểm giữa MO với đường tròn $\left(O\right)\left(Q\ne M\right)$ $\Rightarrow MQ$ là đường kính của (O)

Ta có tam giác MQN có $\left\{\begin{array}{l}HM=HN\left(cmt\right)\\ QO=OM\left(cachve\right)\end{array}\right.$

Suy ra OH là đường trung bình của tam giác $MQN\Rightarrow OH=\frac{1}{2}QN\left(1\right)$(tính chất đường trung bình của tam giác)

Ta có : $\angle MNQ=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)$\Rightarrow MN\perp NQ$

Mà $AB\perp MN\left(gt\right)\Rightarrow AB//NQ$ (từ vuông góc đến song song)

Chứng minh tương tự ta có $AQ//BN$

Suy ra tứ giác ABNQ là hình bình hành (dhnb)$\Rightarrow AB=NQ\left(2\right)$

Từ (1), (2) suy ra $OH=\frac{1}{2}AB\left(dfcm\right)$