Cho số thực $a\ge 2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của  $A=a+\frac{1}{a}$

Sai lầm thường gặp là:$A=a+\frac{1}{a}\ge \text{2}\sqrt{a.\frac{1}{a}}=2$ . Vậy GTNN của A là 2.

Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 2 $\iff a=\frac{1}{a}\iff \text{a}=1$ vô lý vì theo giả thuyết thì $a\ge 2$ .

Lời giải đúng: $A=a+\frac{1}{a}=\frac{a}{4}+\frac{1}{a}+\frac{3a}{4}\ge 2\sqrt{\frac{a}{4}.\frac{1}{a}}+\frac{3a}{4}\ge 1+\frac{3.2}{4}=\frac{5}{2}$

                Dấu “=” xảy ra    $\iff \frac{a}{4}=\frac{1}{a}\text{ hay }a=2$     

                 Vậy GTNN của A là $\frac{5}{2}$ .

Vì sao chúng ta lại biết phân tích được như lời giải trên. Đây chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức.

Quay lại bài toán trên, dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng. Ta dự đoán A đạt GTNN khi $a=2$  . Khi đó ta nói A đạt GTNN tại “Điểm rơi ” $a=2$. Ta không thể áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho hai số a và $\frac{1}{a}$  vì không thỏa quy tắc dấu “=”. Vì vậy ta phải tách a hoặc $\frac{1}{a}$  để khi áp dụng bất đẳng thức AM - GM thì thỏa quy tắc dấu “=”. Giả sử ta sử dụng bất đẳng thức AM - GM cho cặp số $\left(\frac{a}{\alpha },\frac{1}{a}\right)$  sao cho tại “Điểm rơi ”$a=2$ thì $\frac{a}{\alpha }=\frac{1}{a}$ , ta có sơ đồ sau:   

$a=2\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\frac{a}{\alpha }=\frac{2}{\alpha }\\ \frac{1}{a}=\frac{1}{2}\end{array}\right.\Rightarrow \frac{2}{\alpha }=\frac{1}{2}\Rightarrow \alpha =4$

Khi đó:  $A=a+\frac{1}{a}=\frac{a}{4}+\frac{3a}{4}+\frac{1}{a}$và ta có lời giải như trên.