Chứng minh rằng phương trình  $\sqrt{x^5+2x^3+15x^2+14x+2}=3x^2+x+1$có đúng năm nghiệm phân biệt.

Chứng minh rằng phương trình $x^3+2x=4+3\sqrt{3-2x}$  có đúng một nghiệm.

Tìm các giới hạn sau:

a)  $\lim \left(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\mathrm{...}+\frac{1}{\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)}\right).$

Tìm các giới hạn sau: $\lim \left(\sqrt{n^2+2n+3}-\sqrt[3]{n^2+n^3}\right).$

Tìm các giới hạn sau:

b, $\lim {\left(2n+1\right)}^2\left(\frac{3}{n^2+2n}-\frac{1}{n^2+3n-1}\right).$

Chứng minh rằng phương trình $x^{2020}+3x^5-1=0$có nghiệm.

Chứng minh phương trình$x^2\sin x+x\cos x+1=0$  có ít nhất một nghiệm.

Tìm các giới hạn sau:

Cho phương trình $x^3+a{x}^2+bx+c=0$(1) trong đó a, b, c là các tham số thực. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A. Phương trình (1) vô nghiệm với mọi a, b, c

B. Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm với mọi a, b, c

C. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm với mọi a, b, c

D. Phương trình (1) có đúng ba nghiệm phân biệt với mọi a, b, c

Tìm các giới hạn sau:

Trong các khẳng định sau

(I) f(x)  liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$  và $f\left(a\right).f\left(b\right)<0$  thì phương trình f(x)=0 có nghiệm

(II) f(x)  không liên tục trên $\left[a,b\right]$  và $f\left(a\right).f\left(b\right)\ge 0$  thì phương trìnhf(x)=0 vô nghiệm

(III) f(x)  liên tục trên đoạn $\left[a,b\right]$  và $f\left(a\right).f\left(b\right)>0$  thì tồn tại ít nhất một số $c\in \left(a;b\right)$  sao cho $f\left(c\right)=0$

(IV) f(x)  liên tục trên đoạn $\left[a,b\right]$  và $f\left(a\right).f\left(b\right)<0$  thì tồn tại ít nhất một số $c\in \left(a;b\right)$ sao cho $f\left(c\right)=0$

Số khẳng định đúng là

Tính các tổng sau:

a)  $S=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{3^n}+\mathrm{...}$

Tìm các giới hạn sau: