Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn ∫01f'x2dx=∫01x+1exfxdx=e2−14 và f(1)=0 . Tính ∫01fxdx

Chọn C - Tính : I=∫01x+1exfxdx=∫01xexfxdx+∫01exfxdx=J+K Tính K=∫01exfxdx Đặt u=exfxdv=dx⇒du=exfx+exf'xdxv=x ⇒K=xexfx01−∫01xexfx+xexf'xdx =−∫01xexfxdx−∫01xexf'xdxdo f1=0 ⇒K=−J−∫01xexf'xdx⇒I=J+K=−∫01xexf'xdx - Kết hợp giả thiết ta được : ∫01f'x2dx=e2−14−∫01xexf'xdx=e2−14⇒∫01f'x2dx=e2−14 (1)2∫01xexf'xdx=−e2−12 (2) - Mặt khác, ta tính được : ∫01x2e2xdx=e2−14 (3) - Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta được: ∫01f'x2+2xexf'x+x2e2xdx=0 ⇔∫o1f'x+xex2dx=0⇔π∫o1f'x+xex2dx=0 hay thể tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f'x+xex , trục Ox, các đường thẳng x=0 , x=1 khi quay quanh trục Ox bằng 0 ⇒f'x+xex=0⇔f'x=−xex⇒fx=−∫xexdx=1−xex+C - Lại do f1=0⇒C=0⇒fx=1−xex ⇒∫01fxdx=∫011−xexdx=1−xex01+∫01exdx=−1+ex01=e−2 Vậy∫01fxdx=e−2

Câu hỏi:

19/07/2024 83

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn $\int_{0}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} d x = \int_{0}^{1} (x + 1) e^{x} f (x) d x = \frac{e^{2} - 1}{4}$ và f(1)=0 . Tính $\int_{0}^{1} f (x) d x$

A. $\frac{e - 1}{2}$

B. $\frac{e^{2}}{4}$

C. e-2

Đáp án chính xác

D. $\frac{e}{2}$

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi qa.haylamdo.com

Chọn C

- Tính : $I = \int_{0}^{1} (x + 1) e^{x} f (x) d x =$ $\int_{0}^{1} x e^{x} f (x) d x + \int_{0}^{1} e^{x} f (x) d x = J + K$

Tính $K = \int_{0}^{1} e^{x} f (x) d x$
Đặt $\{\begin{cases} u = e^{x} f (x) \\ d v = d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = [e^{x} f (x) + e^{x} f^{'} (x)] d x \\ v = x \end{cases}$

$\Rightarrow K = {(x e^{x} f (x))|}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} [x e^{x} f (x) + x e^{x} f^{'} (x)] d x$

$= - \int_{0}^{1} x e^{x} f (x) d x - \int_{0}^{1} x e^{x} f^{'} (x) d x$ $(do f (1) = 0)$

$\Rightarrow K = - J - \int_{0}^{1} x e^{x} f^{'} (x) d x$ $\Rightarrow I = J + K = - \int_{0}^{1} x e^{x} f^{'} (x) d x$

- Kết hợp giả thiết ta được :

$\{\begin{cases} \int_{0}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} d x = \frac{e^{2} - 1}{4} \\ - \int_{0}^{1} x e^{x} f^{'} (x) d x = \frac{e^{2} - 1}{4} \end{cases}$ $\Rightarrow \{\begin{cases} \int_{0}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} d x = \frac{e^{2} - 1}{4} (1) \\ 2 \int_{0}^{1} x e^{x} f^{'} (x) d x = - \frac{e^{2} - 1}{2} (2) \end{cases}$

- Mặt khác, ta tính được : $\int_{0}^{1} x^{2} e^{2 x} d x = \frac{e^{2} - 1}{4} (3)$
- Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta được:

$\int_{0}^{1} ({[f^{'} (x)]}^{2} + 2 x e^{x} f^{'} (x) + x^{2} e^{2 x}) d x = 0$

$\Leftrightarrow \int_{o}^{1} {(f^{'} (x) + x e^{x})}^{2} d x = 0$ $\Leftrightarrow π \int_{o}^{1} {(f^{'} (x) + x e^{x})}^{2} d x = 0$

hay thể tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f^{'} (x) + x e^{x}$ , trục Ox, các đường thẳng x=0 , x=1 khi quay quanh trục Ox bằng 0

$\Rightarrow f^{'} (x) + x e^{x} = 0 \Leftrightarrow f^{'} (x) = - x e^{x} \Rightarrow f (x) = - \int x e^{x} d x = (1 - x) e^{x} + C$

- Lại do $f (1) = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow f (x) = (1 - x) e^{x}$

$\Rightarrow \int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1} (1 - x) e^{x} d x = {((1 - x) e^{x})|}_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{x} d x = - 1 + {e^{x}|}_{0}^{1} = e - 2$

Vậy $\int_{0}^{1} f (x) d x = e - 2$

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Hàm số $f (x) = (x - 1) e^{x}$ có một nguyên hàm F(x) là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này bằng 1 khi x= 0?

Xem đáp án » 02/07/2022 174

Câu 2:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1;2;1) , B(2;1;3) , C(3;2;2) , D(1;1;1). Độ dài chiều cao DH của tứ diện bằng

Xem đáp án » 02/07/2022 156

Câu 3:

Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn $[1; 2]$ . Biết rằng $F (1) = 1$ , $F (2) = 4$ , $G (1) = \frac{3}{2}$ , $G (2) = 2$ và $\int_{1}^{2} f (x) G (x) d x = \frac{67}{12}$ . Tích phân $\int_{1}^{2} F (x) g (x) d x$ có giá trị bằng

Xem đáp án » 02/07/2022 144

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A (2; 0; - 2), B (3; - 1; - 4), C (- 2; 2; 0)$ . Điểm D trong mặt phẳng (Oyz) có cao độ âm sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 2 và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) bằng 1 là:

Xem đáp án » 02/07/2022 140

Câu 5:

Tính tích phân sau $I = \int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Xem đáp án » 02/07/2022 139

Câu 6:

Cho 2 điểm A(2; 4; 1), B(–2; 2; –3). Phương trình mặt cầu đường kính AB là:

Xem đáp án » 02/07/2022 130

Câu 7:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho $A (1; 2; 0),$ $B (3; - 2; 2),$ $C (2; 3; 1)$ . Tọa độ của vectơ $[\vec{A B}, \vec{A C}]$ bằng

Xem đáp án » 02/07/2022 123

Câu 8:

F(x) là một nguyên hàm của hàm số $y = e^{\sin x} \cos x$

Nếu $F (π) = 5$ thì $\int e^{\sin x} \cos x d x$ bằng:

Xem đáp án » 02/07/2022 120

Câu 9:

Tập hợp giá trị của m sao cho $\int_{0}^{m} (2 x - 4) d x = 5$ là

Xem đáp án » 02/07/2022 117

Câu 10:

Tính $\int \sin (3 x - 1) d x$ kết quả là:

Xem đáp án » 02/07/2022 113

Câu 11:

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường $y = \sin 2 x, y = \cos x$ và hai đường thẳng $x = 0, x = \frac{π}{2}$ là

Xem đáp án » 02/07/2022 113

Câu 12:

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ là:

Xem đáp án » 02/07/2022 110

Câu 13:

Đổi biến $x = 2 \sin t$ tích phân $\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{4 - x^{2}}}$ trở thành:

Xem đáp án » 02/07/2022 105

Câu 14:

Nguyên hàm $F (x)$ của hàm số $f (x) = \frac{{(x - 1)}^{3}}{x^{3}} (x \neq 0)$ là

Xem đáp án » 02/07/2022 104

Câu 15:

Tích phân $I = \int_{0}^{π} x^{2} \sin x d x$ bằng :

Xem đáp án » 02/07/2022 102

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

250 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

10 đề 35473 lượt thi Thi thử
150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân cơ bản

6 đề 32259 lượt thi Thi thử
Bài tập về Tính đơn điệu của hàm số có lời giải

3 đề 29382 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao

11 đề 22544 lượt thi Thi thử
Bài tập Cực trị hàm số cơ bản, nâng cao có lời giải

5 đề 19737 lượt thi Thi thử
Đề thi thử Hình học không gian trong đề thi Đại học 2017 có lời giải

23 đề 16736 lượt thi Thi thử
70 câu trắc nghiệm Khối đa diện cơ bản

6 đề 16333 lượt thi Thi thử
200 câu trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit nâng cao

9 đề 15710 lượt thi Thi thử
150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân nâng cao

6 đề 11180 lượt thi Thi thử
200 câu trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit cơ bản

9 đề 11119 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Câu hỏi:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn ∫01f'x2dx=∫01x+1exfxdx=e2−14 và f(1)=0 . Tính ∫01fxdx

A. e−12

B. e24

C. e-2

D. e2

Trả lời:

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Hàm số fx=x−1ex có một nguyên hàm F(x) là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này bằng 1 khi x= 0?

Câu 2:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1;2;1) , B(2;1;3) , C(3;2;2) , D(1;1;1). Độ dài chiều cao DH của tứ diện bằng

Câu 3:

Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [1;2]. Biết rằng F(1)=1 , F(2)=4 , G(1)=32 , G(2)=2 và ∫12f(x)G(x)dx=6712. Tích phân ∫12F(x)g(x)dx có giá trị bằng

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A2;0;−2, B3;−1;−4, C−2;2;0 . Điểm D trong mặt phẳng (Oyz) có cao độ âm sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 2 và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) bằng 1 là:

Câu 5:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn $\int_{0}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} d x = \int_{0}^{1} (x + 1) e^{x} f (x) d x = \frac{e^{2} - 1}{4}$ và f(1)=0 . Tính $\int_{0}^{1} f (x) d x$

A. $\frac{e - 1}{2}$

B. $\frac{e^{2}}{4}$

D. $\frac{e}{2}$

Hàm số $f (x) = (x - 1) e^{x}$ có một nguyên hàm F(x) là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này bằng 1 khi x= 0?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A (2; 0; - 2), B (3; - 1; - 4), C (- 2; 2; 0)$ . Điểm D trong mặt phẳng (Oyz) có cao độ âm sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 2 và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) bằng 1 là: