Thứ năm, 26/12/2024
IMG-LOGO

Câu hỏi:

14/07/2024 94

Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=3a2+2ab+3b2+3b2+2bc+3c2+3c2+2ca+3a2.

Trả lời:

verified Giải bởi qa.haylamdo.com

3a2+2ab+3b2=2(a+b)2+(ab)22(a+b)2

3a2+2ab+3b22(a+b)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b.

Chứng minh tương tự ta có: 3b2+2bc+3c22(b+c)

3c2+2ca+3a22(c+a)

P=3a2+2ab+3b2+3b2+2bc+3c2+3c2+2ca+3a2 (1)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.

Áp dụng bất đẳng thức Côsi: a+12a;b+12b;c+12c

a+b+c2(a+b+c)3=3 (2).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1.

Từ (1) và (2) suy ra: P62. Đẳng thức xảy ra a=b=c=1.

Vậy minP=62, khi a=b=c=1.

Câu trả lời này có hữu ích không?

0

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho a, b, c là các số dương thay đổi thỏa mãn: 1a+b+1b+c+1c+a=2017

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P=12a+3b+3c+13a+2b+3c+13a+3b+2c

Xem đáp án » 19/10/2022 189

Câu 2:

Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C=x2+y2+xy

Xem đáp án » 19/10/2022 178

Câu 3:

Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn: x+y+z=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q=x+11+y2+y+11+z2+z+11+x2.

Xem đáp án » 19/10/2022 168

Câu 4:

Cho hai số x>0,y>0. Chứng minh rằng  1x+y141x+1y

Xem đáp án » 19/10/2022 143

Câu 5:

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x+y4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=2x2+y2+35xy+2xy

Xem đáp án » 19/10/2022 139

Câu 6:

Tìm các chữ số a, b, c biết abc¯ac¯=2.cb+bc.

Xem đáp án » 19/10/2022 138

Câu 7:

Cho các số thực a,b,c thay đổi luôn thỏa mãn: a1,b1,c1 ab+bc+ca=9.

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P=a2+b2+c2.

Xem đáp án » 19/10/2022 137

Câu 8:

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=xy+3xz+y2+yz2.

Xem đáp án » 19/10/2022 114

Câu 9:

Cho a, b, c là ba số thực dương. CMR:a5bc+b5ca+c5aba3+b3+c3

Xem đáp án » 19/10/2022 112

Câu 10:

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M=x2+y2+3x+y+1

Xem đáp án » 19/10/2022 111

Câu 11:

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca=3 và ca.

Tìm giá trị nhỏ nhát của biểu thức P=1a+12+2b+12+3c+12.

Xem đáp án » 19/10/2022 107

Câu 12:

Cho a,b,c là ba số không âm thỏa mãn a+b+c=1

Chứng minh a+2b+c41a1b1c.

Xem đáp án » 19/10/2022 106

Câu 13:

Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x+y6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=3x+2y+6x+8y

Xem đáp án » 19/10/2022 106

Câu 14:

Cho các số thực x, y thỏa mãn x+y=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q=x3+y3+x2+y2.

Xem đáp án » 19/10/2022 99

Câu 15:

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn 2a+3b4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Q=2002a+2017b+2996a5501b.

Xem đáp án » 19/10/2022 91