IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 9 Toán Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2018 có đáp án

Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2018 có đáp án

Chuyên đề 3: Bất đẳng thức

  • 1674 lượt thi

  • 24 câu hỏi

  • 45 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn 2a+3b4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Q=2002a+2017b+2996a5501b.

Xem đáp án

Ta cóQ=2002a+2017b+2996a5501b=2002a+8008a+2017b+2017b(5012a+7518b)=2002(1a+4a)+2017(1b+b)2506(2a+3b)2002.21a.4a+2017.21b.b2506(2a+3b)   (BDTCoSi)2002.4+2017.22506.4=2018.

Do đó Q đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2018 khi a=12 và b=1


Câu 2:

Cho bốn số thực dương x, y, z, t thỏa mãn x+y+z+t=2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcA=(x+y+z)(x+y)xyzt

Xem đáp án

Ta có

4A=(x+y+z+t)2(x+y+z)(x+y)xyzt4(x+y+z)t(x+y+z)(x+y)xyzt.=4(x+y+z)2(x+y)xyz4.4(x+y)z(x+y)xyz.=16(x+y)2xy16.4xyxy64.A16

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

x+y+z+t=2x+y+z=tx+y=zx=yx=y=14z=12t=1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 16, xảy ra khi và chỉ khi  x=y=14,z=12,t=1


Câu 3:

Cho a, b, c là ba số thực dương. CMR:a5bc+b5ca+c5aba3+b3+c3

Xem đáp án

Ta có a5bc+b5ca+c5ab=a6abc+b6abc+c6abc  =(a3)2abc+(b3)2abc+(b3)2abc

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

a5bc+b5ca+c5ab=(a3)2abc+(b3)2abc+(b3)2abc(a3+b3+c3)2abc+abc+abc   =(a3+b3+c3)(a3+b3+c3)3abc

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số a3,b3,c3 ta được:

a3+b3+c33a3b3c33=3abc

Do đó:

a5bc+b5ca+c5ab(a3+b3+c3)(a3+b3+c3)3abc(a3+b3+c3)3abc3abc=a3+b3+c3(đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c


Câu 4:

Cho a, b, c là các số dương thay đổi thỏa mãn: 1a+b+1b+c+1c+a=2017

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P=12a+3b+3c+13a+2b+3c+13a+3b+2c

Xem đáp án

Đặt x=a+b; y=b+c; z=a+c;1x+1y+1z=2017P=1x+2y+z+1x+y+2z+12x+y+zTa có: 1x+1y4x+y1y+1z4y+z1x+1x4x+z1x+1y+1z21x+y+1y+z+1x+z412x+y+z+12y+x+z+12z+x+yP141x+1y+1z=20174

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=34034


Câu 5:

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M=x2+y2+3x+y+1

Xem đáp án

Với x;y>0xy=1ta có: x+y24xy=4x+y2

Đặt t=x+y; t2

Khi đó: M=x2+y2+3x+y+1=x+y22xy+3x+y+1=t22+3t+1=t3+t22t+1t+1

=t2t2+3t+1+3t+1t+1=t2t2+3t+1t+1+33(Vì t2).

Vậy minM=3t=2x+y=2xy=1x=y=1


Câu 6:

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca=3 và ca.

Tìm giá trị nhỏ nhát của biểu thức P=1a+12+2b+12+3c+12.

Xem đáp án

Cách 1: Theo đề bài ab+bc+ca=3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

3=ab+bc+ac3a2b2c23abc1,(1)a+b+c23ab+bc+ac=9a+b+c3,(2)T 1 và 2 a+b+c3abc.Đt x=1a+1;y=1b+1;z=1c+1x,y,z>0; zxP=x2+2y2+3z2=x2+z2+2y2+2z22x2+y2+z2P2x2+y2+z22xy+yz+xz.(*)

Ta tìm giá tr nh nht ca xy+yz+xz .xy+yz+xz=1a+1b+1+1c+1b+1+1a+1c+1xy+yz+xz=a+b+c+3a+1b+1c+1=a+b+c+3abc+a+b+c+4xy+yz+xz=a+b+c+3abc+a+b+c+4=3a+b+c+33abc+3a+b+c+12xy+yz+xz=3a+b+c+33abc+3a+b+c+123a+b+c+3a+b+c+3a+b+c+12=34P2.34=32.

Dấu bằng xảy ra khi x=y=za=b=c=1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P=32.

Cách 2: Vì Vì acP=1a+12+2b+12+3c+121a+12+2b+12+2c+12+1a+12

P2a+12+2b+12+2c+12

Ta chứng minh đẳng thức với x, y không âm.

1x+12+1y+1211+xy

1+xyx2+y2+2x+2y+2xy+x+y+1201+xyx2+y22xy+2xy+2x+2y+2xy+x+y+1201+xyxy2+21+xyxy+x+y+1xy+x+y+1201+xyxy2+xyxy+1xy+x+y+10xyxy2+xy2+xy+12x+y20xyxy2+xy120.

Luôn đúng, dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1.

P=1a+12+2b+12+3c+121a+12+2b+12+2c+12+1a+12

P1a+12+1b+12+1b+12+1c+12+1a+1211+ab+11+bc+11+ac.

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số không âm ta có

x+y+z1x+1y+1z91x+1y+1z9x+y+zP11+ab+11+bc+11+ac93+ab+bc+ac=96=32.

Vậy GTNN của P=32 khi a=b=c=1.


Câu 7:

Tìm các chữ số a, b, c biết abc¯ac¯=2.cb+bc.

Xem đáp án

Điều kiện 1a90b, c9a, b, c(*)

Ta có abc¯ac¯=2.cb+bc 100a+10b+c10a+c=210c+b+10b+c

90a=2b+21c90a2.9+21.9a2,3a=1a=2

+ TH1: a=12b+21c=112b=21c0b12b=0c=121

+ TH2: a=22b+21c=222b=21c0b1b=0c=221b=1c=0

Kết hợp với (*) ta được a=2, b=1, c=0 thỏa mãn.
Vậy a=2, b=1, c=0

Câu 8:

Cho a,b,c là ba số không âm thỏa mãn a+b+c=1

Chứng minh a+2b+c41a1b1c.

Xem đáp án

Từ giả thiết: a+b+c=11a=b+c ;1b=a+c ;1c=a+b 

Suy ra a+2b+c41a1b1c

(a+b)+(b+c)4a+bb+cc+a 

Đặt x=a+b ; y=b+c ; z=c+a  x,y,z0 

Suy ra x+y+z=2,ta phải chứng minh x+y4xyz 

Áp dụng BĐT Cauchy ta có :  x+y+z=x+y+z2(x+y).z  suy ra 22(x+y).z 

suy ra 1x+yz, do x+y0 suy ra x+y(x+y)2z  (1)

Mặt khác   x+y24xy, do z0 suy x+y2z4xyz (2)

Từ (1) và (2) suy ra x+y4xyz suy ra bài toán được chứng minh.


Câu 9:

Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn: x+y+z=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q=x+11+y2+y+11+z2+z+11+x2.

Xem đáp án

Q=x+11+y2+y+11+z2+z+11+x2=x1+y2+y1+z2+z1+x2+11+y2+11+z2+11+x2=M+N

Xét M=x1+y2+y1+z2+z1+x2, áp dụng kỹ thuật Côsi ngược dấu ta có:

x1+y2=x1+y2xy21+y2=xxy21+y2xxy22y=xxy2

Tương tự: y1+z2yyz2z1+x2zzx2;

Suy ra M=x1+y2+y1+z2+z1+x2x+y+zxy+yz+zx2=3xy+yz+zx2

Lại có: x2+y2+z2xy+yz+zxx+y+z23xy+yz+zxxy+yz+zx3

Suy ra: M3xy+yz+zx2332=32

Dấu "=" xảy ra x=y=z.

Xét N=11+y2+11+z2+11+x2, ta có: 

3N=111+y2+111+z2+111+x2

             =y21+y2+z21+z2+x21+x2y22y+z22z+x22x=x+y+z2=32

Suy ra: N332=32.

Dấu "=" xảy ra x=y=z=1

Từ đó suy ra: Q3. Dấu "=" xảy ra x=y=z=1

Vậy Qmin=3x=y=z=1


Câu 10:

Cho các số thực a,b,c thay đổi luôn thỏa mãn: a1,b1,c1 ab+bc+ca=9.

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P=a2+b2+c2.

Xem đáp án

+ Tìm giá trị nhỏ nhất.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có:a2+b22abb2+c22bcc2+a22ca2a2+b2+c22ab+bc+ca


P=a2+b2+c2ab+bc+ca=9

Dấu ‘=’ xảy ra a=b=c1ab+bc+ca=9a=b=c=3.

+ Tìm giá trị lớn nhất.

Vì a1b1c1a1b10b1c10c1a10abab+10bcbc+10caca+10

ab+bc+ca2a+b+c+30

3a+b+cab+bc+ca+32=6

a+b+c236

a2+b2+c2+2ab+bc+ca36

P362ab+bc+ca=18

Dấu ‘=’ xảy ra a=4,b=c=1b=4,c=a=1c=4,a=b=1.

Vậy GTNN của P là 9, xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=3.

GTLN của P là 18, xảy ra khi và chỉ khi a=4,b=c=1b=4,c=a=1c=4,a=b=1.


Câu 11:

Cho hai số x>0,y>0. Chứng minh rằng  1x+y141x+1y
Xem đáp án

a) Xét hiệu: 

141x+1y1x+y=x+y4xy1x+y=x+y24xy4xyx+y=xy24xyx+y0(do x>0; y>0)

Vậy 1x+y141x+1y

Dấu "=" xảy ra x=y


Câu 12:

Chứng minh rằng: 13a+2b+c+1a+3b+2c+12a+b+3c83

Xem đáp án

b) Áp dụng bất đẳng thức ở phần a) ta có:

13a+2b+c=13a+2b+c1413a+12b+c    1

Chứng minh được với a; b; c>0 ta có 9a+b+c1a+1b+1c

Áp dụng bất đẳng thức trên ta được:

1413a+12b+c  1413a+192b+1c=1413a+29b+19c   2

Từ (1) và (2) suy ra 13a+2b+c1413a+29b+19c

Chứng minh tương tự ta được:

1a+3b+2c1419a+13b+29c;  12a+b+3c1429a+19b+13c

Cộng theo vế của các bất đẳng thức cùng chiều ta được:

13a+2b+c+1a+3b+2c+12a+b+3c14231a+1b+1c=142316=83

Dấu "=" xảy ra a=b=c1a+1b+1c=16a=b=c=316.

Vậy 13a+2b+c+1a+3b+2c+12a+b+3c83(đpcm)


Câu 13:

Cho x, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=x4+3x2+4x2+1

Xem đáp án

Ta có: P=x2+2+2x2+2=x2+22+2x2+2+x2+222x2+22.2x2+2+x2+22=2+x2+222+0+22=3

Dấu "=" xảy ra khi x2+22=2x2+2x2=0x=0

Vậy GTNN của P bằng 3 khi x=0


Câu 14:

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=1.

Chứng minh rằng: a1a+b1b+c1c>2.

Xem đáp án

Ta có a1a+b1b+c1c>2

aa+b+ca+ba+b+cb+ca+b+cc>2ab+c+ba+c+ca+b>22a2ab+c+2b2ba+c+2c2ca+b>2a2ab+c+b2ba+c+c2ca+b>1

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có

 a+b+c2ab+cb+a+c2ba+cc+a+b2ca+ba2ab+caa+b+cb2ba+cba+b+cc2ca+bca+b+c

a2ab+c+b2ba+c+c2ca+ba+b+ca+b+c=1

Dấu “=” xảy ra khi a=b+cb=c+ac=a+ba=b=c=0 ( vô lý vì a, b, c>0).

Vậy a1a+b1b+c1c>2.


Câu 15:

Cho x, y là các số thực. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P=x2y21x2y21+x221+y22 

Xem đáp án

Đặt a=x2; b=y2 (a0; b0) thì P=(ab)(1ab)(1+a)2(1+b)2

a0; b0 nên:

(ab)(1ab)=aa2bb+ab2a+ab2=a1+b2a1+2b+b2=a1+b2 

Lại có: (1+a)2=(1a)2+4a4a

Pa(1+b)24a(1+b)2=14

Dấu bằng xảy ra: a=1b=0x=±1y=0

Vậy max P=14x=±1y=0 .


Câu 16:

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x+y4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=2x2+y2+35xy+2xy

Xem đáp án

Ta có: P=2x2+y2+35xy+2xy=2x2+y2+1xy+32xy+2xy+2xy.

Với a>0, b>0 ta có 1a+1b4a+b (*). (Chứng minh bằng biến đổi tương đương hoặc cô-si).

Áp dụng (*) cho hai số dương 2x2+y2; 1xy ta được:

2x2+y2+1xy=21x2+y2+12xy2.4x2+y2+2xy=8x+y2>842=12.

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương , ta có:

2xyx+y4xy42xy24=1232xy+2xy232xy.2xy=16.

Do đó P=2x2+y2+1xy+32xy+2xy+2xy12+16+12=17.

Dấu đẳng thức xảy ra khi x2+y2=2xyxy=4x=yx+y=4x=y=2.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 17khi x=y=2.


Câu 18:

Cho các số thực x, y thỏa mãn x+y=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q=x3+y3+x2+y2.

Xem đáp án

Q=x3+y3+x2+y2=x+yx2xy+y2+x+y22xy=2x+y23xy+42xy=243xy+42xy=128xyMà x+y=2y=2xQ=128x2x=8x216x+12=8x12+44

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q bằng 4 tại x=y=1


Câu 19:

Cho x, y, z là ba số thực dương, thoả mãn: xy+yz+xz=xyz.

Chứng minh rằng: xyz31+x1+y+yzx31+y1+z+zxy31+z1+x116

Xem đáp án

Đặt A=xyz31+x1+y+yzx31+y1+z+zxy31+z1+x

Từ giả thiết, ta có: xy+yz+zx=xyz1x+1y+1z=1

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số thực dương, ta có: 

xyz31+x1+y+1+x64x+1+y64y3xyz31+x1+y1+x64x1+y64y3=316z(1).

Tương tự, ta có:

Cho  x, y , z  là ba số thực dương, thoả mãn: xy+yz+zx=xyz . (ảnh 1)

Cộng (1), (2), (3), ta được:

Cho  x, y , z  là ba số thực dương, thoả mãn: xy+yz+zx=xyz . (ảnh 2)

Câu 20:

Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x+y6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=3x+2y+6x+8y

Xem đáp án

- Dùng máy tính casio ta chọn được điểm rơi tại x = 2, y = 4. Nên ta có:

P=3x+2y+6x+8y=3x2+6x+2y4+8y+1,5x+1,5y

- Áp dụng BĐT Cô-si cho từng cặp số trong ngoặc ta được

P6+4+1,5(x+y)=6+4+1,5.6=19

Dấu bằng xảy ra khi: 3x2=6x2y4=8yx+y6x=±2y=±4x+y6x=2y=4

Vậy Pmin = 19 tại x=2y=4.


Câu 21:

Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=3a2+2ab+3b2+3b2+2bc+3c2+3c2+2ca+3a2.

Xem đáp án

3a2+2ab+3b2=2(a+b)2+(ab)22(a+b)2

3a2+2ab+3b22(a+b)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b.

Chứng minh tương tự ta có: 3b2+2bc+3c22(b+c)

3c2+2ca+3a22(c+a)

P=3a2+2ab+3b2+3b2+2bc+3c2+3c2+2ca+3a2 (1)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.

Áp dụng bất đẳng thức Côsi: a+12a;b+12b;c+12c

a+b+c2(a+b+c)3=3 (2).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1.

Từ (1) và (2) suy ra: P62. Đẳng thức xảy ra a=b=c=1.

Vậy minP=62, khi a=b=c=1.


Câu 22:

Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện x-y=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q=3x2+y2+8.
Xem đáp án

xy=2y=x2 Q=3x2+y2+8=3x2+x22+8=4x24x+12=2x12+1111

  Giá trị nhỏ nhất của Q bằng 11. Khi x=12y=32.


Câu 23:

Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C=x2+y2+xy

Xem đáp án

Cách 1:

Nhận xét: trong tất cả các điều kiện và biểu thức, vai trò của x, y đều bình đẳng nên C đạt GTNN khi x=y. Do đó, ta biến đổi như bên dưới.

Ta có: C=x2+y2+xy=ax+y2+bxy2=a+bx2+y2+2abxy.

Suy ra a+b=1ab=12a=34b=14.

Hay ta có: C=34x+y2+14xy2=34.1+14xy234

Dấu “=” xảy ra khi x=yx+y=1x=y=12.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của C là minC=34 khi x=y=12.

Cách 2:

Do x+y=1y=1x. Khi đó, ta có:

C=x2+y2+xy=x2+1x2+x1x=x2x+1=x122+3434.

Dấu “=” xảy ra khi x=12x+y=1x=y=12.

Vậy, minC=34 khi x=y=12.


Câu 24:

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=xy+3xz+y2+yz2.

Xem đáp án

+ Áp dụng:  a,b0 ta có aba+b2, dấu bằng xảy ra khi a=b.

P=x(y+3z)+y(y+z)2=124x(y+3z)+122y(y+z)12.4x+(y+3z)2+12.2y+(y+z)2=x+y+z=3

Suy ra P3.

P=34x=y+3z2y=y+zx+y+z=3x>0;y>0;z>0x=y=z=1

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 3 khi x=y=z=1


Bắt đầu thi ngay