d) Đường thẳng qua D và vuông góc với OB cắt BC tại M. Gọi P là trung điểm của AB. Chứng minh ba điểm K,M,P thẳng hàng

d) Gọi J là giao điểm của AK và BC

Gọi P là giao điểm của KM và AB. Ta sẽ chứng minh P là trung điểm của AB

Kẻ $ON\perp DK\left(N\in DK\right)\Rightarrow N$ là trung điểm của DK

Lại có $\angle ANO=90°$ nên N thuộc đường tròn đường kính OA hay $O,N,B,A,C$ cùng thuộc một đường tròn.

Xét tam giác ABJ và ANB ta có :

$\angle BAN$ chung, $\angle ABJ=\angle BNA\left(=ACB\right)$ (các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau)

$\Rightarrow \Delta ABJ\backsim \Delta ANB\left(g.g\right)\Rightarrow \frac{AJ}{AB}=\frac{AB}{AN}$ (cặp cạnh tương ứng)$\Rightarrow A{B}^2=AJ.AN$

Tương tự ta có : $\Delta ABD\backsim \Delta AKB(g.g)\Rightarrow \frac{AB}{AK}=\frac{AD}{AB}\Rightarrow A{B}^2=AK.AD$

$\Rightarrow AJ.AN=AK.AD\Rightarrow \frac{AN}{AD}=\frac{AK}{AJ}=\frac{AK-AN}{AJ-AD}=\frac{KN}{DJ}=\frac{DN}{EJ}$

(Vì N là trung điểm của $DK)\Rightarrow \frac{AK}{DN}=\frac{AJ}{EJ}$

Ta lại có : $\left\{\begin{array}{l}DM\perp OB\left(gt\right)\\ AB\perp OB\left(gt\right)\end{array}\right.\Rightarrow DM//AB\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\frac{AB}{DM}=\frac{AJ}{DJ}\\ \frac{AP}{DM}=\frac{AK}{DK}\end{array}\right.$(Định lý Ta – let)

$\Rightarrow \frac{AP}{DM}=\frac{AK}{2DN}=\frac{1}{2}.\frac{AJ}{EJ}=\frac{1}{2}.\frac{AB}{DM}\Rightarrow AP=\frac{AB}{2}$

Vậy P là trung điểm của $AB\left(dfcm\right)$