Cho tập A={1;2;3;....;2021} . Tìm số nguyên dương k lớn nhất (k>2) sao cho ta có thể chọn được k số phân biệt từ tập A mà tổng của hai số phân biệt bất kỳ trong k số được chọn không chia hết cho hiệu của chúng .
Gọi B là tập con của tập A thỏa mãn hai phần tử bất kỳ của B có tổng không chia hết cho hiệu
Dễ thấy trong 3 số tự nhiên liên tiếp ta chỉ có thể chọn 1 phần tử vào B . Thật vậy
Với 3 số x,x+1,x+2 nếu có 2 phần tử trong B thì :
x+(x+2)=2x+2chia hết cho (x+2)−x=2
x+(x+1)=2x+1 chia hết cho x+1−x=1
(x+1)+(x+2)=2x+3 chia hết cho (x+2)−(x+1)=1
Với cách xây dựng tập B như vậy thì số phần tử của B không thể lớn hơn [20213+1]=674
Tập B={1;4;7;.....;2020} có 674 phần tử thỏa mãn yêu cầu bài toán
Vậy giá trị lớn nhất của k là 674
b) Giả sử PB = PC và PC<PA. Gọi X, Y, Z lần lượt là hình chiếu vuông góc của I, K, L trên các cạnh BC, CA, AB. Dựng hình bình hành XYWZ . Chứng minh rằng W nằm trên phân giác ∠BAC
Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất, biết rằng khi chia n cho 7, 9, 11, 13 ta nhận được các số dư tương ứng 3, 4, 5, 6