Cho tập $A=\left\{1;2;3;\mathrm{....};2021\right\}$ . Tìm số nguyên dương k lớn nhất $\left(k>2\right)$ sao cho ta có thể chọn được k số phân biệt từ tập A mà tổng của hai số phân biệt bất kỳ trong k số được chọn không chia hết cho hiệu của chúng .

Gọi B là tập con của tập A thỏa mãn hai phần tử bất kỳ của B có tổng không chia hết cho hiệu

Dễ thấy trong 3 số tự nhiên liên tiếp ta chỉ có thể chọn 1 phần tử vào B . Thật vậy

Với 3 số $x,x+\mathrm{1,}x+2$ nếu có 2 phần tử trong B thì :

$x+\left(x+2\right)=2x+2$chia hết cho $\left(x+2\right)-x=2$

$x+\left(x+1\right)=2x+1$ chia hết cho $x+1-x=1$ 

$\left(x+1\right)+\left(x+2\right)=2x+3$ chia hết cho $\left(x+2\right)-\left(x+1\right)=1$

Với cách xây dựng tập B như vậy thì số phần tử của B không thể lớn hơn $\left[\frac{2021}{3}+1\right]=674$

Tập $B=\left\{1;4;7;\mathrm{.....};2020\right\}$ có 674 phần tử thỏa mãn yêu cầu bài toán

Vậy giá trị lớn nhất của k là 674