c, Chứng minh tam giác AKI cân tại K

c, Ta có: $\widehat{MNI}=\widehat{MCK}\left(cmt\right)\Rightarrow$Tứ giác NCIK là tứ giác nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

$\Rightarrow \widehat{HKI}=\widehat{NCI}=\widehat{NCM}$(góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp)

Ta có: $\widehat{NMC}=\frac{sd\stackrel{⏜}{MN}}{2}$(góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn)

$\widehat{AHN}=\frac{sd\stackrel{⏜}{AN}+sd\stackrel{⏜}{BM}}{2}=\frac{sd\stackrel{⏜}{AN}+sd\stackrel{⏜}{AM}}{2}=\frac{sd\stackrel{⏜}{MN}}{2}$ (góc có đỉnh bên ngoài đường tròn)$\Rightarrow \widehat{NCM}=\widehat{AHK}\Rightarrow \widehat{HKI}=\widehat{AHK}$

Mà hai góc này ở vị trí so le trong $\Rightarrow AH//KI$

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có $\widehat{AKH}=\widehat{KHI}\Rightarrow AK//HI$

Xét tứ giác AHIK có: $\left\{\begin{array}{l}AH//KI\\ AK//HI\end{array}\right.\Rightarrow$ Tứ giác AHIK là hình bình hành (1)

Tứ giác BMHI là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \widehat{MHB}=\widehat{MIB}$(hai góc nội tiếp cùng chắn $\stackrel{⏜}{MB})$

Tứ giác NCIK là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \widehat{NKC}=\widehat{KIC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\stackrel{⏜}{NC})$

Mà $\widehat{MIB}=\widehat{NIC}$(đối đỉnh)$\Rightarrow \widehat{MHB}=\widehat{NKI}$

$\widehat{AHK}=\widehat{AKH}(\widehat{MHB}=\widehat{AHK},\widehat{NKC}=\widehat{AKH}$đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta AHK$ cân tại H$\Rightarrow AH=AK\left(2\right)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow AHIK$là hình thoi$\Rightarrow KA=KI$

Vậy tam giác AKI cân tại K$\left(dfcm\right)$