Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2=11\\ x+xy+y=3+4\sqrt{2}\end{array}\right.$

- Đặt  $S=x+y;P=xy$  được: $\left\{\begin{array}{c}{S}^2-2P=11\\ S+P=3+4\sqrt{2}\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{c}{S}^2-2P=11\\ 2S+2P=6+8\sqrt{2}\end{array}\right.$

Cộng hai vế của hệ phương trình ta được phương trình:

$S^2+2S-(17+8\sqrt{2})=0$

- Giải phương trình được $S_1=3+\sqrt{2}$  ; $S_2=-5-\sqrt{2}$

$S_1=3+\sqrt{2}$ được $P_1=3\sqrt{2}$  ;$S_2=-5-\sqrt{2}$ được $P_2=8+5\sqrt{2}$

Với $S_1=3+\sqrt{2}$; $P_1=3\sqrt{2}$ có x, y là hai nghiệm của phương trình:           

$X^2-(3+\sqrt{2})X+3\sqrt{2}=0$       

Giải phương trình được $X_1=3;X_2=\sqrt{2}$  .

Với   $S_2=-5-\sqrt{2}$ ,  được $P_2=8+5\sqrt{2}$  có x, y là hai nghiệm của phương trình:$X^2+(5+\sqrt{2})X+8+5\sqrt{2}=0$.

 Phương trình này vô nghiệm.

Vậy hệ có hai nghiệm: $\left\{\begin{array}{c}x=3\\ y=\sqrt{2}\end{array}\right.$ ; $\left\{\begin{array}{c}x=\sqrt{2}\\ y=3\end{array}\right.$ .