Tính giới hạn  $\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{x}{\sqrt[7]{x+1}.\sqrt{x+4}-2}\right)$

Xét các mệnh đề sau

(I) $\lim n^k=+\infty$  với k là số nguyên dương tùy ý.

(II) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{x^k}=0$  với k là số nguyên dương tùy ý.

(III) $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^k=+\infty$  với k là số nguyên dương tùy ý.

Trong 3 mệnh đề trên thì

Giá trị $\lim \frac{2n\left(3-n\right)+1}{1+3+5+\mathrm{...}+\left(2n-1\right)}$  bằng

Một hình gồm các khối cầu xếp chồng lên nhau tạo thành một cột thẳng đứng. Biết rằng mỗi khỗi cầu có bán kính gấp đôi bán kính của khối cầu nằm ngay trên nó và bán kính khối cầu dưới cùng là 50cm. Hỏi mệnh đề nào sau đây là đúng?

Biết $\lim \frac{{\left(1-2n\right)}^3}{a{n}^3+2}=4$  với a là tham số. Khi đó a bằng

Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn $a-b=-1$  và $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x^2+2ax+1}-\sqrt{5bx+1}}{x}=5$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

Giới hạn $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x+2-\sqrt{7x+2}}{x-\sqrt{5x-4}}=\frac{a}{b}$  (với $a;b\in \mathbb{Z}$  và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Giá trị của a+b bằng

Tìm giá trị của tham số a để hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x-2}+3khix\ge 2\\ ax-1khix<2\end{array}\right.$  tồn tại giới hạn $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)$ .

Cho hàm số y=f(x)   xác định trên R thỏa mãn $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(x\right)-16}{x-2}=12$ . Giới hạn $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt[3]{5f\left(x\right)-16}-4}{x^2+2x-8}$  bằng

Xét các khẳng định sau

(1) Nếu hàm số $y=f\left(x\right)$  xác định trên R thỏa mãn $f\left(-1\right).f\left(0\right)<0$  thì đồ thị của hàm số $y=f\left(x\right)$  trục hoành có ít nhất 1 điểm chung.

(2) Nếu hàm số $y=f\left(x\right)$  xác định trên R  thỏa mãn  $f\left(-1\right).f\left(0\right)<0$ và   $f\left(0\right).f\left(1\right)<0$thì đồ thị của hàm số  và trục hoành có ít nhất 2 điểm chung.

Phát biểu nào sau đây đúng?

Cho $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)+1}{x-1}=7$ . Giá trị $I=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(x^2+x\right)f\left(x\right)+2}{x-1}$  là

Biết rằng $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{2x^2-3x+1}+x\sqrt{2}\right)=\frac{a}{b}\sqrt{2}$  (a là số nguyên, b là số nguyên dương, $\frac{a}{b}$  tối giản). Tổng a+b    có giá trị là

Cho phương trình $\left(2m^2-5m+2\right){\left(x-1\right)}^{2019}\left(x^{2020}-2\right)+7x^2+1=0$  (với m là tham số)

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}khix>0\\ m{x}^2+2m+\frac{1}{4}khix\le 0\end{array}\right.$ . m là tham số. Giá trị của m để hàm số liên tục tại x=0 là

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{1-\cos 3x\cos 5x\cos 7x}{{\sin }^{2}7x}$ . Tính $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)$