Với giá trị nào của m thì phương trình x² + mx + 9 = 0 có nghiệm kép:

Phương trình x² + 3x + 2 = 0 có nghiệm là:

Trong các phương trình dưới đây, phương trình nào không phải là phương trình bậc hai một ẩn?

Với giá trị nào của a thì đồ thị hàm số y = ax² đi qua điểm có tọa độ (2; 4)?

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến khi x < 0?

Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-y=2\\ ax+y=6\end{array}\right.$ có nghiệm (x; y) = (2; 0) khi giá trị của a là:

Cho a, b là các số dương thỏa mãn a + b = 3. Chứng minh rằng: ${\left(a+\frac{1}{b}\right)}^2+{\left(b+\frac{1}{a}\right)}^2\ge \frac{169}{18}$

Cho đường tròn (O) và điểm K nằm bên ngoài đường tròn (O). Kẻ hai tiếp tuyến KA, KB với đường tròn (O), A và B là các tiếp điểm. Từ điểm K vẽ đường thẳng d cắt đường tròn (O) tại hai điểm C, D (KC < KD, d không đi qua tâm).

1) Chứng minh tứ giác KAOB là tứ giác nội tiếp.

2) Gọi giao điểm của đoạn thẳng AB với đoạn thẳng OK là M. Chứng minh

KA² = KC.KD = KM.KO.

3) Chứng minh đường thẳng AB chứa tia phân giác của $\widehat{CMD}$ .

1) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{x+1}+\frac{2}{y-2}=6\\ \frac{5}{x+1}-\frac{1}{y-2}=3\end{array}\right.$ .

2) Cho phương trình: x² −2(m −1)x + m² − 3m = 0 (1) (x là ẩn số)

a) Giải phương trình (1) khi m = 5.

b) Tìm tất cả giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm.

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 240 m. Người ta dự định mở rộng khu vườn bằng cách tăng chiều dài thêm 9m, tăng chiều rộng thêm 7 m, sao cho khu vườn vẫn là hình chữ nhật, do vậy diện tích khu vườn sẽ tăng thêm 963 m². Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn ban đầu.

). Cho hai biểu thức: $A=\frac{\sqrt{x}-2}{2\sqrt{x}+3}$  và $B=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}-\frac{2}{2-\sqrt{x}}-\frac{7\sqrt{x}-6}{x-4}$  (với x ≥ 0; x ≠ 4.)

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16.

2) Cho biểu thức $P=\frac{B}{A}$ . Chứng minh $P=\frac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}$ .

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca = 3abc.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $K=\frac{a^2}{c\left(c^2+a^2\right)}+\frac{b^2}{a\left(a^2+b^2\right)}+\frac{c^2}{b\left(b^2+c^2\right)}$

Cho đường tròn (O; R) và dây AB cố định (AB < 2R). Từ điểm C bất kì trên tia đối của tia AB, kẻ tiếp tuyến CD với đường tròn (O) (D nằm trên cung lớn AB). Gọi I là trung điểm của dây AB. Tia DI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai K. Kẻ đường thẳng KE song song với AB (E ∈ (O)). Chứng minh rằng:

a) Tứ giác CDOI nội tiếp.

b) CD² = CA.CB.

c) CE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

d) Khi C chuyển động trên tia đối của tia AB thì trọng tâm G của tam giác ABD chuyển động trên một đường tròn cố định.

Hai người thợ cùng làm chung một công việc thì sau 6 ngày hoàn thành. Nếu người thứ nhất làm trong 2 ngày rồi dùng là và người thứ hai làm tiếp công việc đó trong 3 ngày thì hoàn thành đươc 40% công việc. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong thời gian bao lâu?

a) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm M(−2; −5) và N(4; 7)

b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\left(x+1\right)\left(y-1\right)=xy-1\\ \left(x-3\right)(y-3)=xy-3\end{array}\right.$

Cho hàm số y = 2x² có đồ thị là parabol (P).

a) Các điểm A(−2; 8); B$\left(\frac{1}{2};1\right)$ có thuộc (P) không? Vì sao?

b) Vẽ parabol (P) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Cho 1 ≤ x, y, z ≤ 2 và x² + y² + z² = 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=\sqrt{4-x^2}+\sqrt{4-y^2}+\sqrt{4-z^2}$.

Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) với AB < AC. Các đường cao BE và CF của ∆ABC cắt nhau tại H.

1) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.

2) Chứng minh OA ⊥ EF.

3) Gọi M là trung điểm của BC, S là giao điểm của đường thẳng EF và BC. Kẻ đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh H, M, K thẳng hàng và chứng minh SH ⊥ AM.

1) Trong cùng mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x² và đường thẳng

(d): y = x + 2. Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (d). Vẽ (P) và (d).

2) Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}mx+y=2m\\ x+my=m+1\end{array}\right.$

Tìm m để hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) mà cả x và y đều nhận giá trị nguyên.

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Trong tháng đầu, hai tổ làm được 600 sản phẩm. Sang tháng thứ 2, tổ I vượt mức 10% và tổ II vượt mức 20% so với tháng đầu, do đó tháng thứ hai cả hai tổ làm được 685 sản phẩm. Hỏi tháng đầu, mỗi tổ làm được bao nhiêu sản phẩm?

Cho hai biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}+1}{x-4}$ và  $B=\frac{18-\sqrt{x}}{x-4}+\frac{4}{2-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}$với x ≥ 0, x ≠ 4.

1) Tính giá trị của A khi x = 25.

2) Rút gọn biểu thức B.

3) Đặt P = A.B. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức y = $\frac{x}{x^2+1}$.

Theo kế hoạch, hai tổ công nhân được giao sản xuất 5000 chiếc khẩu trang kháng khuẩn trong thời gian đã định. Do nhu cầu khẩu trang trong mùa dịch Covid tăng cao nên tổ I đã sản xuất vượt mước 50% và tổ II sản xuất vượt mức 40% so với kế hoạch. Vì vậy trong thời gian quy định hai tổ đã sản xuất được 7200 chiếc khẩu trang kháng khuẩn. Tính số khẩu trang kháng khuẩn được giao của mỗi tổ theo kế hoạch.

Cho hàm số y = mx² có đồ thị là parabol (P) và đường thẳng (d): y = 3x + 4.

a) Tìm giá trị của m, biết (P) đi qua điểm M(1; 1). Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ Oxy với giá trị của m vừa tìm được.

b) Với giá trị nào của m tìm được ở câu a, tìm tọa độ các giao điểm của (d) và (P).

Giải hệ phương trình sau:

a) $\{\begin{array}{l}4x+7y=16\\ 4x-3y=-24\end{array}$

b) $\{\begin{array}{l}2\sqrt{x-2}+\sqrt{y+3}=4\\ 3\sqrt{x-2}-2\sqrt{y+3}=-1\end{array}$

Cho x, y là hai số thực thỏa mãn x.y = 1.

Chứng minh rằng $\frac{4}{{(x+y)}^2}+x^2+y^2\ge 3$. Đẳng thức xảy ra khi nào? 

Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Dây CD vuông góc với AB tại E (E nằm giữa A và O; E không trùng A, không trùng O). Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC sao cho cung MB nhỏ hơn cung MC. Dây AM cắt CD tại F. Tia BM cắt đường thẳng CD tại K.

1) Chứng minh tứ giác BMFE nội tiếp.

2) Chứng minh BF vuông góc với AK và EK.EF = EA.EB

3) Tiếp tuyến của (O) tại M cắt tia KD tại I. Chứng minh IK = IF.

Cho hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}2x+y=3m-2\\ 3x-y=2m+2\end{array}$ (m là tham số)  (I)

1) Giải hệ phương trình đã cho khi m = −1.

2) Tìm m để hệ (I) có cặp nghiệm (x; y) duy nhất thỏa mãn: x² + y² = 10.

Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 68 m. Nếu tăng chiều rộng lên gấp đôi và chiều dài lên gấp ba thì chu vi khu vườn mới là 178 m. Hãy tìm chiều dài, chiều rộng của  khu vườn đã cho lúc ban đầu.

Cho $P=(\frac{1}{\sqrt{x}+1}-\frac{1}{x+\sqrt{x}}):\frac{\sqrt{x}}{x+2\sqrt{x}+1}$ (với x > 0)

1) Rút gọn biểu thức P.

2) Tính giá trị của P khi x = 4.

3) Tìm giá trị của x để $P>\frac{2}{3}$.

Biết rằng m, n là các số thực dương để phương trình ẩn x sau có nghiệm:

x² – 4x + n(m – 1) + 5 = 0.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{{(m+n)}^2}{mn}$.

Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và điểm I cố định nằm giữa A và O. Dây CD vuông góc với AB tại I. Gọi E là điểm tùy ý thuộc dây CD (E không trùng với C, D). Tia AE cắt (O) tại F.

a) Chứng minh tứ giác BIEF nội tiếp.

b) Chứng minh: AC² = AI.AB = AE.AF .

c) Kẻ đường kính CM của (O); kẻ dây DN vuông góc với FM. Chứng minh CN = DF.

d) Gọi giao điểm của CN và DF là K. Chứng minh rằng giao điểm của OK với BC là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF.

Cho phương trình x² – 2(m − 3)x + 4m – 16 = 0 (m là tham số)

a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 3. Giải phương trình với giá trị m vừa tìm được.

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

c) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm âm.

Bài 1 (2 điểm): Giải các hệ phương trình sau:

a) $\{\begin{array}{l}-3x+y=-9\\ 2x+7y=52\end{array}$

b) $\{\begin{array}{l}\frac{3}{\sqrt{x+3}}-2(x+2y)=-\frac{17}{2}\\ \frac{2}{\sqrt{x+3}}+4x+8y=21\end{array}$

Cho ba số thực không âm a, b, c và a + b + c = 3.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $K=\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}$

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ tiếp tuyến AM, AN tới đường tròn (M, N là các tiếp điểm).

1) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp.

2) Trên cung nhỏ MN lấy điểm B khác M, N và B không là điểm chính giửa của cung MN. Tia AB cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai C. Chứng minh: AM² = AB.AC

3) Gọi H là giao điểm của AO và MN. Chứng minh góc AHB= góc ACO.

1) Giải hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}\frac{8}{\sqrt{x}-3}+\frac{1}{|2y-1|}=5\\ \frac{4}{\sqrt{x}-3}+\frac{1}{|2y-1|}=3\end{array}$

2) Cho hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}mx-2y=2m\\ -2x+y=m+1\end{array}$

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho x = y.

1) Giải hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}\frac{8}{\sqrt{x}-3}+\frac{1}{|2y-1|}=5\\ \frac{4}{\sqrt{x}-3}+\frac{1}{|2y-1|}=3\end{array}$

2) Cho hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}mx-2y=2m\\ -2x+y=m+1\end{array}$

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho x = y.

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn trong 18 giờ thì đầy bể. Nếu vòi 1 chảy trong 4 giờ, vòi 2 chảy trong 7 giờ thì chỉ được $\frac{1}{3}$  bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu sẽ đầy bể?

Cho các biểu thức: $A=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}+\frac{4x}{x-4}$

và $B=\frac{4(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x}-2}$  với x ≥ 0, x ≠ 4

1) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 9.

2) Chứng minh: $A=\frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$ .

3) Cho $P=\frac{A}{B}$  . So sánh P và $\sqrt{P}$  .

Cho đường tròn (O; R) và dây AB cố định không đi qua tâm. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C (C khác A). Từ C kẻ 2 tiếp tuyến CM và CN với đường tròn (O) (M và N là các tiếp điểm; tia CO nằm giữa hai tia CM và CA). Gọi D là trung điểm AB.

a) Chứng minh tứ giác CMOD nội tiếp.

b) Chứng minh: CN² = CA.CB

c) ND cắt (O) tại I. Chứng minh: MI // ABư

Quãng đường AB dài 400 km, một ô tô đi từ A đến B với vận tốc không đổi. Khi từ B trở về A, ô tô tăng vận tốc thêm 10 km/h. Biết thời gian ô tô đi từ B vể A ít hơn thời gian đi từ A đến B là 2 giờ. Tính vận tốc ô tô lúc đi từ A đến B.

Cho các biểu thức:

$A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}$và $B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac{x+2}{x-\sqrt{x}-2}$ với x ≥ 0, x ≠ 4

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 49.

b) Rút gọn biểu thức B.              

c) Tìm x để biểu thức P = A.B ≤ $\frac{1}{x+3}$

Cho ∆ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), có các đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AK của đường tròn (O).

a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn.

b) Gọi D là giao điểm của AH và BC. Chứng minh AE.AC = AH.AD.

c) Gọi M là hình chiếu của D lên BE. Qua M vẽ đường thẳng vuông góc với AK, đường thẳng này cắt CF tại N. Chứng minh: AK ^ EF và tứ giác HNDM nội tiếp.

Một vật rơi ở độ cao so với mặt đất là 100 m. Quãng đường chuyển động s (mét) của vật rơi phụ thuộc vào thời gian t (giây) được biểu diễn bởi công thức s = 4t².

a) Sau 2 giây, vật này cách mặt đất bao nhiêu mét?

b) Hỏi sau bao lâu vật này tiếp đất?