Dựng hình bình hành ABCD biết vị trí các điểm A và vị trí các trung điểm M, N của BC và CD.

* Phân tích

Giả sử đã dựng được hình bình hành thỏa mãn đề bài.

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo và K là giao điểm của MN và AC.

Xét $\Delta CBD$ có MN là đường trung bình, MN // BD

Xét $\Delta COB$ có MB = MC và MK // OB nên CK = KO

Vậy MK là đường trung bình nên $MK=\frac{1}{2}OB.$

Chứng minh tương tự, ta được $KN=\frac{1}{2}OD.$

Mặt khác, OB = OD nên KM = KN

Vậy điểm K là trung điểm của MN xác định được.

Dễ thấy $OK=KC=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}OA\Rightarrow KC=\frac{1}{4}AC$ suy ra $KC=\frac{1}{3}KA.$

Điểm C nằm trên tia đối của tia KA và cách K một khoảng $\frac{1}{3}AK.$

Điểm C xác định được thì các điểm B và D cũng xác định được.

* Cách dựng

- Dựng đoạn thẳng MN.

- Dựng trung điểm K của MN.

- Dựng tia AK.

- Trên tia đối của tia KA dựng điểm C sao cho $KC=\frac{1}{3}KA.$

- Dựng điểm B sao cho M là trung điểm của CB.

- Dựng điểm D sao cho N là trung điểm của CD.

- Dựng các đoạn thẳng AB, AD ta được hình bình hành phải dựng.